Учебные пособия для высшей школы Д.Д.Мордухай-Болтовского // Наука и техника: Вопросы истории и теории. Выпуск XVII. СПб.:СПбФ ИИЕТ РАН, 2001. С.77-78

В 2001 г. исполняется 125 лет со дня рождения математика с мировым именем, выпускника Петербургского университета - Д.Д.Мордухай-Болтовского. Он уделял большое внимание проблемам психологии и методики математики как высшей, так и средней школы, что находит отражение в выступлениях на Всероссийских съездах преподавателей математики (1911-1913), ряде статей математической и методической периодике. Эти материалы являются сравнительно доступными для изучения. Однако наибольшую ценность для характеристики методических взглядов Д.Д.Мордухай-Болтовского, по нашему мнению, представляют его курсы лекций и другие учебные пособия.

Всего он прочитал свыше 45 различных курсов, по целому ряду которых были изданы литографированные учебные пособия очень небольшим тиражем, что затрудняет их поиск и изучение. Тем не менее, в нашем распоряжении имеется большая часть этих пособий, которые использовались в Ростовском университете и Ростовском педагогическом институте.

Уже в год окончания Петербургского университета и поступления в магистратуру при Варшавском университете (1898) появилось литографированное издание небольшого сборника упражнений по дифференциальному и интегральному исчислениям, который вскоре с небольшими изменениями переиздан в Харькове и несколько раз в Варшаве. На его основе в 1904 г. на русском (Варшава) и польском (Львов) языках выходит объемный (426 с.) "Систематический сборник элементарных упражнений по дифференциальному и интегральному исчислениям", во введении к которому обстоятельно изложены методические воззрения автора. В частности, Д.Д.Мордухай-Болтовской изложил здесь различные способы ведения практических занятий в зависимости от поставленных целей.

Этот сборник в свою очередь лег в основу изданного в 1914-1915 гг. в Петрограде большого (около 900 с.) двухтомного задачника, в котором задачи распределены по степени трудности, каждой теме предпосланы подробные разъяснения, на конкретных примерах показаны приемы наиболее целесообразного решения различных типов задач. В силу своих несомненных методических достоинств, этот сборник получил широкое распространение, выдержал 4 издания на русском языке, переведен на польский.

Изданы и литографированные курсы лекций по математическому анализу, имеется упоминание об интересном по своему замыслу "Курсе математического анализа с историческими комментариями", который, к сожалению, остался неопубликованным. Дважды издавались курсы лекций по теории эллиптических функций (1912, 1939), вводящиеся как обращения эллиптических интегралов.

Более 7 изданий выдержал курс аналитической геометрии, основной особенностью которого является изложение теоретического материала параллельно в декартовых и плюкеровых координатах. Большой методический интерес представляет курс высшей геометрии, построенный на груповых основах и идее геометрических преобразований, в котором осуществляются взаимосвязи между отдельными разделами высшей геометрии.

Курсы лекций по математическому анализу, составленные Д.Д.Мордухай-Болтовским // Наука и техника: Вопросы истории и теории. Выпуск XVII. СПб.:СПбФ ИИЕТ РАН, 2001. С.80-81 (в соавт. с Е.П. Ханиным)

Курс дифференциального и интегрального исчисления Д.Д.Мордухай-Болтовского переиздавался более десятка раз. Следует заметить, что его аспирантская работа была посвящена проблемам математического анализа, видимо, поэтому к соответствующим курсам лекций Дмитрий Дмитриевич относился с особым вниманием, трепетом и любовью, которыми проникаешься, знакомясь с ними.

Курс дифференциального и интегрального исчисления состоит из глав, содержащих 57 параграфов-лекций. Содержание очень удачно скомпановано и структурировано. В конце каждой темы предлагается перечень вопросов и практических заданий. В завершение предлагаются экзаменационные вопросы по всему содержанию, требующие обобщения полученных знаний.

Особенностью этого курса является то, что определению определенного интеграла предшествует теория рядов. Этот подход является более удачным, чем тот, который используется сейчас, когда ряды изучаются обособленно от интеграла, и понятия интеграл и сумма ряда становятся несколько оторванными друг от друга. При этом понятие интеграла как суммы интегральных сумм вводится абстрактно, в отрыве от практических задач. Другой пример тесной увязки интегрального исчисления и теории рядов: рассмотрев методы интегрирования, Д.Д.Мордухай-Болтовской тут же обосновывает интегрирование рядов и приближенные вычисления.

Другой особенностью курса является то, что рассматриваемые свойства рядов автор устанавливает с привличением понятия бесконечно малых.

Если сейчас в большинстве учебников при изложении интегрального исчисления сначала рассматривают неопределенный интеграл и лишь потом переходят, как к частному случаю, к определенному интегралу, то Д.Д.Мордухай-Болтовской понятие неопределенного интеграла вводит как обобщение после рассмотрения определенного интеграла, что более естественно объясняет необходимость нахождения первообразной. При изложении всего курса Дмитрий Дмитриевич четко разделяет задачу нахождения первообразной F(х) (интегрирование в конечном виде) и задачу приближенного интегрирования.

Также в этом курсе кратко и компактно рассмотриваются вопросы, связанные с эллиптическими интегралами, приближенными вычислениями (численное интегрирование), криволинейными интегралами. В литературе имеется упоминание о "Курсе математического анализа с историческими комментариями" в котором была использована некоторая часть обширных историко-математических исследований Дмитрия Дмитриевича. К сожалению, этот курс так и остался неопубликованным.

Дважды (1912, 1939) издавались лекции по теории эллиптических функций. В 1911-1912 гг. самостоятельного курса по теории функций комплексного переменного в Варшавском университете не было. Поэтому в издании 1912 года Д.Д.Мордухай-Болтовской первые семь параграфов посвящает отдельным вопросам этой теории, необходимым для дальнейшего изложения. В издании 1939 года эта часть отсутствует. И в том, и в другом изданиях курса эллиптические функции вводятся как результат обращения эллиптических интегралов. Но в более раннем издании свойствам самих эллиптических интегралов уделено чрезвычайно малое внимание, не более, чем это нужно для изложения свойств эллиптических функций в форме Якоби, рассматриваемых с точки зрения теории функций комплексного переменного.

Во втором издании эллиптическим интегралам посвящена первая часть курса (третья часть объема). Здесь помимо общих свойств эллиптических интегралов всех трех родов рассматривается общая проблема интегрирования в конечном виде. Сюда включена также глава, посвященная абелевым интегралам и общей теореме сложения Абеля.

Анализ Д.Д.Мордухай-Болтовского работы Всероссийских съездов преподавателей математики // Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики. Историко-математический и историко- методический аспекты. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 4. Калуга, 2002. С.131-136

Д.Д.Мордухай-Болтовской был участником I и II Всероссийских съездов преподавателей математики. Им написаны две статьи – отчета о работе этих съездов, которые содержат в себе философские, методологические и дидактические очерки по поводу высказываемых предложений докладчиков.

I съезд проходил 27 декабря 1911 года - 3 января 1912 года в Петербурге. На нем присутствовало 1217 человек, было заслушано 71 доклад, в том числе 47 докладов по методологии и методике преподавания математики. Такой аудитории и такого внимания русская методика математики до тех пор не видела

В большинстве своем доклады съезда были посвящены реформаторским идеям, изложенным в Меранской программе. На съезде было поставлено на обсуждение много существенных вопросов: включение в программу средней школы начал анализа, аналитической геометрии, применение графического метода, лабораторный метод, исторические элементы в преподавании и др. Много неразрешенных вопросов было в методике геометрии. Необходимо было с большей строгостью подойти к изложению систематического курса геометрии, разрешить вопрос о роли интуиции и, в связи с этим, о пропедевтическом курсе геометрии. По многим вопросам мнения участников съезда разошлись.

Более скромным по масштабам был II Всероссийский съезд преподавателей математики, состоявшийся в Москве 26 декабря 1913 года - 3 января 1914 года. На нем было заслушано 32 доклада. На съезде также обсуждались вопросы преподавания анализа и аналитической геометрии. Представитель русской национальной подкомиссии в Международной ассоциации преподавателей математики профессор Д.М.Синцов сделал доклад о работе этой ассоциации. На съездах были заслушаны доклады о деятельности математических обществ и кружков, был сделан анализ учебной литературы и учебных пособий.

Выступавшие на съездах математики-педагоги подвергли суровой критике традиционную школу. Были намечены общие основы реформы в систематическом математическом образовании. На съездах указывалось, что в содержании средней школы по математике должны войти новые идеи, которые до тех пор были недоступны для ученика средней школы и являлись лишь достоянием высшего образования. Чтобы приобщить школу к основным идеям новой математики, Д.Д.Мордухай-Болтовской предлагал ввести основные идеи аналитической геометрии в среднюю школу, а также основы анализа бесконечно-малых. Изучение аналитической геометрии приводит к понятию функции и тесно с ней связанным идеям непрерывного изменения, предела и бесконечно-малого.

На съездах много внимания было уделено методике преподавания геометрии, пропедевтическому и систематическому её курсам. Высказывались мнения, что в систематическом курсе “и интуиция, и логика должны идти рука об руку” и нет необходимости в каком то пропедевтическом курсе. Другие, наоборот, предлагали строго логическое построение курса геометрии, а пропедевтический курс дать в виде вступления с целью развития пространственной интуиции и накопления геометрических знаний.

По мнению Д.Д.Мордухай-Болтовского, весьма желательно введение в пропедевтический курс доказательного элемента. Следует также познакомить учащихся с чисто интуитивными доказательствами. В пропедевтическом курсе должны быть сообщены некоторые геометрические истины. Их можно сообщить без доказательств, заставив ученика принять их на веру, но необходимо внушить, что наука - область не веры, а знания.

Дмитрий Дмитриевич предлагал не доказывать очевидных теорем совсем до самого окончания курса, каково бы ни было их доказательство, трудным или легким. Он считал, что при построении систематического курса нужно держаться принципа противоположного тому, который лежит в основе построения всякой аксиоматической системы. Число аксиом должно быть не минимальным, а максимальным. Ведь чем больше будет аксиом при необходимом условии, чтобы каждой из них была присуща очевидность и чтобы они в достаточной мере убеждали, тем проще будут доказательства, легче логический аппарат, полнее содержание. В идеальном курсе геометрии, по мнению Дмитрий Дмитриевича, должно быть обоснованным не только содержание теорем, но наличность и принадлежность их к тому или иному месту.

Некоторые докладчики предлагали изучение в школе геометрии Лобачевского и Римана. Д.Д.Мордухай-Болтовской решительно высказывался против введения неевклидовой геометрии в среднюю школу. Даже более того, считал, что изучение ее сверх обязательной программы, как дополнения, представляет большие опасности. Он опасался, что неевклидовая геометрия будет пониматься учащимися как действительная, реальная геометрия, а евклидова - как кажущаяся, недействительная, как это делалось в некоторых популярных учебниках и статьях, что чисто логическое ее значение не будет усвоено учащимися, поскольку оно редко усваивалось даже студентами.

На съездах предлагалось введение в программу средней школы элементов математического анализа. Д.Д.Мордухай-Болтовской высказывал мнение, что в школе нужно давать только основные понятия, идеи анализа бесконечно малых и считал большой ошибкой предложения некоторых докладчиков изучать анализ как отдельную дисциплину в средней школе.

“Необходимо, - писал Дмитрий Дмитриевич - познакомить учащихся с идеей функции, с понятием производной на отдельных примерах и изменить содержание тех глав учебников математики, которые не могут обойтись без предела суммы бесконечно-малых. Ведь идея интегрального исчисления, состоит вовсе не в том, что площадь криволинейной трапеции можно выразить пределом некоторой суммы и идея дифференциального исчисления состоит не в том, чтобы рассматривать предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной. Исчисление бесконечно-малых состоит из двух моментов: собственно анализа - дробления изучаемой величины на бесконечно-малые элементы и синтеза - суммирования, но не этих элементов, а их эквивалентов, при этом предметом дифференциального исчисления является изыскание этих эквивалентов”.

Дмитрий Дмитриевич считал, что при ознакомлении с идеями анализа, нужно придерживаться такого правила: больше общих идей и меньше теорем. Совершенно излишним является обучение механизму дифференцирования и интегрирования в школе. Необходима не надстройка над курсами средней школы, а их перестройка. “Дело не в том, - писал Д.Д.Мордухай-Болтовской в отчете о I съезде, - чтобы приклеить к старому курсу элементарной математики старый и может быть настолько же ждущий обновления, как первый, курс университета, урезанный по-новому, а дело в том, чтобы изложить старые и вечно юные геометрические истины по-новому, осветить их новыми идеями”.

На I съезде обсуждался вопрос о наглядности преподавания. Одним из методов достижения наглядности является математическое моделирование. На съезде высказывались мнения, что модели уничтожают самодеятельность учащихся, что они показывают учащимся то, до чего они сами должны были бы додуматься. Дмитрий Дмитриевич соглашался с этими доводами лишь отчасти: “Следует возражать не против моделей, а только против злоупотребления моделированием”. Он указывал, что способность мыслить пространственно создается двумя факторами: памятью об известных явлениях и их самостоятельной переработкой. Не видя совсем модели какого-нибудь многогранника, хотя бы куба, ученику трудно себе представить, например, октаэдр или додекаэдр. В других случаях является весьма важным показать учащимся, что один объект некоторым преобразованием переходит в другой. Например, чтобы воспроизвести в воображении операцию сечения многогранника, следует сначала показать модели таких сечений.

Являясь защитником геометрических моделей, Д.Д.Мордухай-Болтовской выступал против лабораторных занятий по математике. Он опасался, что “при лабораторном обучении головы учащихся будут заполнены более ремесленными приёмами, относящимися к выделке моделей, за которыми постепенно сгущаются геометрические образы, отвечающие этим моделям”.

На съездах отмечалось, что совместное осуществление двух целей: введение и функционального мышления, и наглядности преподавания создает графический метод. Некоторые докладчики предлагали ввести изучение в средней школе номографии как специальной дисциплины. Д.Д.Мордухай-Болтовской был не согласен с возможностью введения даже самых начал номографии в школу. Он говорил, что можно защищать графический метод как педагогический прием, как средство для более легкого усвоения различных элементарных истин алгебры, геометрии и физики. Но отсюда еще не вытекает необходимость изучения “графического исчисления” как особой дисциплины, наравне с геометрией, алгеброй и арифметикой.

Анализируя работу II Всероссийского съезда преподавателей математики, Д.Д.Мордухай-Болтовской высказывает свои соображения по ряду важных дидактических вопросов обсуждавшихся его участниками.

Обсуждая вопрос научности и доступности в преподавании математики Д.Д.Мордухай-Болтовской считает что не следует стремится сразу к строго логическому обоснованию того или иного математического факта. Для школы вполне приемлемы “логические скачки через интуицию”, обеспечивающие необходимую доступность учебного материала.

Говоря о “научной экономии и педагогической щедрости” Дмитрий Дмитриевич отмечает, что если в науке полезнее быть экономным, то в педагогике лучше быть щедрым, т.к. при обучении лучше идти от частного к общему, и чем больше упражнений, тем прочнее знание.

Давая свою оценку доклада А.К.Власова “Изобразительное искусство и геометрия”, Д.Д.Мордухай-Болтовской обсуждает вопрос о психологии и методике геометрического чертежа и моделирования. Так геометрический чертеж должен строиться по правилам аксонометрической проекции и давать целостную картину геометрической ситуации.

По вопросу о педагогическом “рано” или “поздно” речь шла не только о том, в каком возрасте ученик может усвоить тот или иной раздел математики, но и о том в каком возрасте учитель может перестроиться на преподавание идей новой математики.

Одним из основных вопросов, волновавших II Всероссийский съезд преподавателей математики, был вопрос о подготовке учителей. На съезде в докладах высказывались мнения, что подготовка преподавателей средней школы не должна носить узко профессионального характера. Нельзя ограничить подготовку учителя изучением методики, дидактики и педагогики, что значит научить его только практическим навыкам преподавания, вложить в его ум чужие мысли. Необходимы еще основательные знания предмета.

Дмитрий Дмитриевич был согласен, что подготовка преподавателей не должна носить узко специализированного характера, что она должна или может совершаться в стенах университета. Но подготовка, по его мнению, вовсе не состоит в одних научных занятиях. По этому поводу он писал: “Совершенно справедливо, что университет должен сыграть большую роль в подготовке преподавателей средней школы. Но следует твердо помнить, что хорошего преподавателя может приготовить только хороший преподаватель”.

Особое внимание съезда занимали вопросы образовательного равноправия мужчин и женщин. Д.Д.Мордухай-Болтовской считает, что среднее и высшее женское образование должно быть иным, чем мужское. В доказательство своих доводов он приводит результаты анкетирования своих студентов, которые свидетельствуют что мужская и женская психика не тождественны, и усвоение учебного материала происходит по разному.

В своих отчетах о работе I и II Всероссийских съездов преподавателей математики Д.Д.Мордухай-Болтовской писал, что они имели огромное значение. Они познакомили участников с основными идеями реформы математического образования, поставили много интересных проблем, относящихся к математике средней школы, но из этих проблем очень мало было решено. Докладчики доказывали полезность предлагаемых ими нововведений для расширения кругозора учащихся, доказывали что и анализ, и неевклидова геометрия, и номография, и теория чисел очень хороши, но не доказывали, почему при выборе новых из числа этих предметов (которые нельзя принять все) следует предпочесть тот или другой. Поэтому все предложения не имели непосредственного практического значения.

"Я жил в других мирах ..." - о профессоре Д.Д.Мордухай-Болтовском // Гуманитарные и социально-экономические науки, №1, 2002. С.115.

В 2002 г. наш журнал познакомит читателей с ранее непубликовавшейся работой крупного ученого-математика, профессора Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовского (1876-1952).

Публикуемая работа "Психология и метафизика сноведений" относится к 1949 г. Это не единственный философский труд ученого. Его перу, кроме специальных математических исследований, принадлежат работы философского и общенаучного значения. Вот лишь некоторые из них: "К учению Д.Бернули о нравственном имуществе и нравственном ожидании", "Психология математического мышления", "Бессознательное и случай", "Граница вселенной", "Исчисление причин и исчисление мотивов", "Аксиоматика и история науки", "Закон гетерогенных целей и этические и социальные проблемы", "О прогрессе", "Психофизический закон и применение его в педагогике", "Внеземная жизнь", "Математическая аксиоматика и Гегель", "Основные понятия механики в схоластике", "Реализм и номинализм в схоластике и математике", "Схоластика и математика", "Аристотель и математика", "Закон гетерогонии целей в истории математики", "Происхождение понятия пространства", "Философия математики Гегеля", "О космогонии Аррениуса", "Истина и реальность", "Средние века", "Мораль долга и мораль подвига", "Проблема смерти", "Спиритизм", "Ормузд и Ариман", "Каузальность и теология", "Мистика любви", "О старости и смерти", "Память", "Фатализм". Многие работы ученого так и не увидели свет, потому что не "вписывались" в узкие каноны официальной идеалогии. Но они представляют несомненный интерес для современного читателя. 35 лет своей творческой жизни отдал Дмитрий Дмитриевич Варшавскому (Ростовскому) университету.

Редакция журнала "Гуманитарные и социально-экономические науки" выражает глубокую благодарность внучке Дмитрия Дмитриевича, Людмиле Филаретовне Болтовской, за предоставленную возможность опубликовать на страницах нашего журнала сохранившуюся в семейном архиве рукопись известного ученого.

В одном из писем своему сыну профессор Мордухай-Болтовской писал: "Мир, который меня окружает, был для меня слишком тесен, жизнь, которую я получил, слишком простой и бедной. Я жил в других мирах, которые близкие мне люди не видели. Я старался не только понять, но и пережить и другие жизни из казавшегося другим уже мертвым, а для меня еще живого прошлого".

"Психология и метафизика сноведений" - одно из "окошек" в потаенный мир мыслителя.

Применение принципа двойственности в задачах геометрии построения // Тезисы докладов студенческой научной конференции: Апрель 1998 г.-Ростов н/Д: РГПУ, 1998. С.221-222

В проективной геометрии имеет место малый и большой принцип двойственности (далее ПД). Малый ПД гласит: "Если в любом предложении проективной геометрии слово "прямая" заменить словом "точка", и наоборот, то из истинности первого высказывания будет следовать и истинность второго". Следует заметить, что применение ПД будет уместно при рассмотрении не только предложений, но и геометрических фигур, а также при решении задач на построение. Теснее всего ПД примыкает к теории полюсов и поляр. Решение задач на построение методом двойственности можно разделить по классам:

1) задачи типа построения биссектрисы и двойственной ей - построение середины отрезка. Решение таких задач вытекает из определения построения взаимных элементов;

2) следующий тип задач основывается на применении свойств взаимных элементов. Так, точки, взаимные двум параллельным прямым, лежат на одной прямой с центром базисной окружности. Например: построить прямую, параллельную данной. Немного конкретизировав условие, получим следующую задачу: Дана прямая и точка, не лежащая на ней. Построить через эту точку прямую, параллельную данной. Решение задачи будет очевидным, если учесть теорему: Если точка С лежит на поляре точки В, то точка В лежит на поляре точки С;

3) к третьему типу отнесем задачи на построение касательных. В решении используется способ построения поляры через четырехугольник Штаудта. Таким же методом решаются задачи вида: Дана дуга MN окружности s и прямая l, не пересекающая этой дуги. С помощью одной линейки определите точки пересечения прямой l с окружностью s. Как видим, задача имеет несколько решений. Использование ПД позволяет все их найти;

4) к следующему типу задач отнесем те, при решении которых будем испольщзовать элементы из некоторых взаимных теорем, т.е. биссекториальные, ортогональные, медианные точки и др. Понятие ортогональной точки взаимно понятию высоты треугольника, отсюда теорема: три ортогональные точки лежат на одной прямой. Но так как высота принадлежит углу, то ортогональная точка будет определять сторону треугольника. Задача: Построить треугольник АВС, если известен угол и две ортогональные точки; и т.д.

Распространение ПД на задачи построения ведет к дальнейшему развитию теории геометрических построений. Появляется возможность формулировать принципиально новые задачи с привлечением взаимных элементов, их свойств и взаимоотношений. При решении многих задач количество используемых при построении инструментов сводится лишь к одной линейке. При этом решение задачи упрощается и становится более доступным. Возможно, что дальнейшие исследования этих задач дадут свои новые методы и, наверное, найдутся такие задачи, которые могут быть решены только этим методом, как методом двойственности.

Возможности использования метода двойственности в школьном курсе геометрии // Тезисы докладов студенческой научной конференции: Апрель 1999 г.-Ростов н/Д: РГПУ, 1999. С.135-136

Сущность метода заключается в том, что пр решении конкретной задачи используются свойства полярного преобразования, двойственные элементы и метрические соотношения между ними, а также сами взаимные теоремы, пораждаемые принципом двойственности. Иногда для решения требуется подвергнуть полярному преобразованию как само предложение, высказываемое в задаче, так и чертеж, его выражающий.

Чертеж, полученный из данного чертежа полярным преобразованием, будет уже совершенно иным: там, где раньше была точка, будет прямая линия, и наоборот. Таким образом, полученный чертеж будет выражать совершенно новое предложение. Использование его в решении может быть проще первоначального. Результат решения полученного таким образом предложения подвергается повторному преобразованию и является решением изначальной задачи.

Если же требуется доказать какое-либо предложение, то результат доказательства нового преобразованного предложения не требует повторного преобразования. Доказательство истинности преобразованного предложения влечет за собой (по самому закону двойственности) и истинность предложения изначальной задачи.

При использовании данного метода нужно учитывать некоторые ограничения, накладываемые самим принципом двойственности:

- применение для теорем меровых свойств в некоторых случаях обрывается;

- ограничение возможностей проективной метрики.

Вот некоторые примеры использования данного метода при решении задач. Рассмотрим пример задачи, где при решении используется опора на свойства полярного преобразования.

Пусть дан произвольный четырехугольник ABCD, вписанный в окружность S (описанный вокруг окружности S). Докажите, что перпендикуляр, опущенный из центра S на прямую, соединяющую точки пересечения противоположных сторон четырехугольника, проходит через точку пересечения диагоналей.

Можно решать задачи принципиально нового типа, т.к. в них используются двойственные элементы и устанавливаются метрические соотношения между ними.

Докажите, что если расстояние от центра О окружности S до точки А равно d, то расстояние от О до поляры а точки А относительно S равно r/d, где r - радиус S.

Задачи, при решении которых свойства полярного преобразования используются наряду со свойствами элементарной геометрии.

Пусть А и В - две точки, а и b - их поляры относительно окружности S с центром О, АР и ВQ - расстояния от А до b и от В до а. Докажите, что ОА/АР = ОВ/ВQ.

Однако еще большее значение имеет полярное преобразование как источник совершенно новых теорем, которые можно вывести из уже известных предложений. Теорему, двойственную к данной теореме, как и построение, двойственное к данному построению, можно очень просто получить при помощи замены слов в соответствии со следующим "словарем": точка - прямая; лежит на - проходит через; прямая, проходящая через две точки - точка пересечения двух прямых; четырехугольник - четырехсторонник; полюс - поляра; множество точек - оболочка; касательная - точка касания; отрезок - угол; и т.д. Таким образом, принцип двойственности позволяет нам все содержание геометрии положения (зрительной геометрии) выразить на двух различных языках. Примером двойственных предложений, изучаемых уже в школьном курсе, являются первый и второй признаки равенства треугольников, первый и второй признаки подобия треугольников, теоремы Чевы и Менелая.

Рассмотренные задачи не требуют какой-либо специальной подготовки, кроме изложения сути метода, и могут быть использованы при школьном преподавании математики, как на внеклассных, так и на факультативных занятиях. Полезно было бы показать ученикам и другие примеры использования принципа двойственности, учитывая его уникальный методический потенциал: открытие учениками самостоятельно любого взаимного предложения. Тем более, что некоторые из таких взаимных пар встречаются в школьном курсе математики.

Для дальнейшего развития теории и методики решения задач элементарной геометрии метод полярного преобразования представляет благоприятное поле деятельности

Тема интеллигенции в публицистике Д.Д. Мордухай-Болтовского 1917-1918 гг. // Наука и Образование. Известия Южного отделения Российской Академии Образования и Ростовского Государственного Педагогического Университета. №2, 2004. С.142-150. (в соавт. с Т.С. Поляковой)

В 2001 г. исполнилось 125 лет со дня рождения, а в 2002 г. – 50 лет со дня смерти крупного отечественного мыслителя первой половины XX в., нашего знаменитого земляка Д.Д. Мордухай-Болтовского (1876-1952).

Он широко известен в научном сообществе как выдающийся математик, глубокий философ, известный методист и психолог математики, блистательный переводчик “Начал” Евклида и др., в то время как его, временами очень активная, публицистическая деятельность практически забыта и никогда не подвергалась, насколько нам известно, сколько-нибудь детальному анализу.

Особенно интересны его публикации рубежных в истории нашей страны 1917-1918 годов, которые не представлены ни в одной из известных нам библиографий Д.Д. Мордухай-Болтовского, учитывая и наиболее полную [1]. Он сам скромно упоминает часть этих публикаций в списке своих печатных работ(1942 г.) за № 68 [2] как «ряд статей по педагогическим вопросам в «Ростовской речи» за 1918 год [3-6], хотя педагогическими являются практически только названия некоторых из них [3, 4], внутреннее же их содержание – преимущественно характеристика «текущего революционного момента». Статьи 1917 года не упоминаются им нигде, что неудивительно, так как они имели в основном антисоциалистический, антисоветский характер, рисовали апокалиптическую картину дотла разрушенной России, её государственности, морали; содержали даже мотивы поддержки Белого движения.

Впервые о публицистике Д.Д. Мордухай-Болтовского этих лет мы узнаем из материалов авторитетных исследователей его жизни и творчества М.Б. Налбандян и Ю.С. Налбандян. На их сайте, посвященном Д.Д. Мордухай-Болтовскому [7], говорится, в частности, об обнаруженных ими в его отчетах о научной деятельности за 1917-1918 гг. упоминаниях о публикациях в местной печати. Здесь же приведен их список, включающий 12 наименований, и краткая аннотация к трем из них [8-10].

Одному из авторов этой статьи – В.Е. Пыркову – удалось обнаружить часть этих публикации в хранилищах Государственного архива Ростовской области (№ 748, № 751), но вследствие ветхости многие из них оказались недоступными для изучения. Другая часть статей обнаружена в фондах Донской государственной публичной библиотеки. Эти два хранилища взаимно дополнили друг друга, что позволило полностью воссоздать тексты всех упомянутых на сайте М.Б. Налбандян и Ю.С. Налбандян публикаций.

Настоящая статья – попытка хотя бы частично ввести публицистику Д.Д. Мордухай-Болтовского 1917-1918 гг. в научный оборот. Представляется, что это в какой-то мере поможет восстановить не столько отношение конкретного человека к происходившим социальным изменениям, сколько отношение к ним значительной части русской интеллигенции того времени.

Итак, мы располагаем текстами 12 публикаций [3-6, 8-15] Д.Д. Мордухай-Болтовского в периодической печати Области войска Донского 1917-1918 гг. Уже беглый взгляд на время написания газетных материалов и их названия позволяет сделать некоторые выводы.

Во-первых, интенсивность публицистической деятельности Д.Д. Мордухай-Болтовского резко увеличилась в первый постреволюционный период, достигнув своего пика в ноябре-декабре 1917 г., что говорит о глубоком интересе к проиcходящему в стране, которое буквально потрясло автора статей. Во-вторых, виден резкий переход от традиционной проблематики (см. название статьи от 6 января 1917 г. [9]) к проблематике социальной: “говорящие” названия всех остальных статей. В-третьих, только эта [9] статья была напечатана в наиболее популярной газете области Войска Донского “Приазовский край”. В дальнейшем трибуну для высказывания своих взглядов предоставило Д.Д. Мордухай-Болтовскому лишь одно издание – газета “Ростовская речь”.

Основную тему, проходящую через большинство публикаций, можно сформулировать как тему бинарных оппозиций «интеллигенция – массы», «интеллигенция – власть». Причем, первая из этих оппозиций во многом построена на взаимоотношениях сознания и подсознания, которые уже давно интересовали Д.Д. Мордухай-Болтовского как психолога. Однако в более ранних научных публикациях он не обращался к психологии массы, не интерполировал на нее бессознательное. Публицистическая статья исследуемого нами цикла, которая имеет название “Массовая психология”[11], написана по горячим следам революционных событий (датирована 5 ноября 1917 г.) и посвящена роли в них психологии масс. Д.Д. Мордухай-Болтовской утверждает, что “наша революция дает необыкновенно богатый материал для психологии масс”, однако она же в корне меняет взгляд интеллигенции на народ. Вместо ожидаемых автором (и представляемой им интеллигенцией) вестников революции в виде “всевозможных мучеников-идеалистов” на арене истории “при зловещем зареве горящих усадеб, при адском хохоте палачей” появляется “страшный призрак нашего гипотетического предка обезъяны-человека, питекантропоса”. Основное стремление его – разрушение, одним из объектов которого является интеллигенция. Поэтому он “топчет в грязь вместе с отнимаемым у голодных хлебом и режущие ему глаз книги, разбивает сапогом вместе с фигурами Венер и амуров, и головы ненавистных ему интеллигентов”.

Каковы же причины такого неожиданного для интеллигенции поведения масс? Как можно судить из статьи “Массовая психология”, Д.Д. Мордухай-Болтовской видит их во взаимоотношениях сознательного и бессознательного. По его мнению, “в нормальном состоянии вне влияния массы сознание даже в некультурном человеке властвует над подсознанием”. Он выделяет два граничных типа “человеческих коллективов ...: тот, в котором спайка особей находится в сфере сознаний этих особей, и тот, где эту спайку образуют исключительно подсознательные элементы”. Вот эти последние, по мнению Д.Д. Мордухай-Болтовского, и доминируют в психологии массы, толпы.

Что же делать? Он считает, что подсознание “следует воспитывать не в массе, а в отдельности и не с 20-30-летнего возраста, а с самого детства”. Основной вывод, к которому приходит Д.Д. Мордухай-Болтовской, представляется удивительно современным: “Необходимо воспитание не мужицкой массы, а мужицких детей и не в духе интернационала и ненависти к “господам”, а в духе патриотизма и уважения к личности”.

Понимая, что результаты такого воспитания – дело весьма отдаленного будущего, Д.Д. Мордухай-Болтовской предлагает спорное, но единственно действенное, по его мнению, лекарство в борьбе с массовыми эксцессами – страх: “Нет необходимости уничтожать элементы толпы, но страх должен ее разогнать, распылив ее на составные, более ценные, чем целое, части. Чисто животный страх за свое существование, более того, страх боли – это та сила, которая сковывает всю свору диких зверей, выпущенных из подсознания”. Автор приводит ряд исторических примеров, подтверждающих эту идею. В частности, пример Великой французской революции, когда “дисциплина поддерживалась гильотиной, которую изобрела не королевская власть, а революция, но прибавлю, что в большинстве случаев призрак гильотины дает тот же эффект, что сама гильотина”. Потеря военного могущества, “нашей чести, нашего культурного богатства” объясняется Д.Д. Мордухай-Болтовским и тем, что “мы отвергли этот фактор (страх), как несогласный с нашей революционной идеологией”.

Тема “интеллигенция и массы” доминирует и во второй постреволюционной статье Д.Д. Мордухай-Болтовского “Поход на интеллигенцию”[12], которая датирована 15 ноября 1917 г. Спустя всего несколько месяцев после Февральской революции и три недели – после Октябрьской наступила, как считает автор, “Варфоломеевская ночь интеллигенции, избиение ее и уничтожение ее богов”. По мнению Д.Д. Мордухай-Болтовского, противостояние «интеллигенции и невежественной массы» дошло до своего апогея, причем ненависть последней к первой проявляется не только на личностном уровне. Если раньше массы только «…с дурным чувством взирали на превосходство этих загадочных для них тощих интеллигентов. Они знали, что у них там сила, где у них бессилие», то теперь «…пьяные солдаты …прокалывают штыками картины великих мастеров, разрушают храм Василия Блаженного, сжигают библиот. Сангушки». И снова автор беспощаден в выборе средств противодействия вандализму: «здесь должна быть применена без пощады смертная казнь, ибо здесь преступник посягает на все человечество, уничтожая его духовное богатство, ведет его к духовной смерти». В этой же статье Д.Д. Мордухай-Болтовской чрезвычайно злободневно для нашего времени рассуждает о роли свободы, ее основных функциях:«Все свободы … это не самоцель, а средство ускорить и обогатить культурный прогресс… Если спасение прогресса потребует от нас уничтожения свобод…, то мы не должны перед этим остановиться…». Эта крайняя точка зрения объяснима остротой ситуации, силой русского бунта– «бессмысленного и беспощадного».

Тема судьбы интеллигенции в революцию продолжена и в статье «Буква ять». Зверства «дезорганизованной солдатской массы, московская резня интеллигенции и разрушение святынь, все это – глубоко трагичные моменты революции», – пишет Д.Д. Мордухай-Болтовской, полагая, что ситуация близка к тому, что страна теряет «самое дорогое нашему сердцу: честь нашей родины, наши культурные богатства, нашу молодежь».

Автор статьи считает, что «Россия теперь – это сплошное пожарище. Революционный пожар сжег все старые постройки, но ничего не создал». Он задается вопросом: а можем ли мы строить по-новому, создать «Новую Россию»? Ответ на этот вопрос, как считает Д.Д. Мордухай-Болтовской, достаточно пессимистичен, так как трагедия России продолжается и углубляется. Трагедийные ноты доминируют в статье «Воскрешенный Лазарь» [13], последней из опубликованных в драматическом 1917 г. Причем, по мнению Д.Д. Мордухай-Болтовского, трагедия русской интеллигенции перерастает в трагедию государства и – самое, по его мнению, страшное – нации. Трагедия государства – это сепаратизм, против которого ранее он выступал, полагая, что «великое несчастье видеть могучую, единую Россию распадающейся на… республики».

Но, как считает Д.Д. Мордухай-Болтовской, «может быть еще более тяжелая потеря. Есть нечто еще более дорогое, чем Российское государство, это – наша национальность». Он готов скорее работать над созданием «своей национальной культуры даже в самой неблагоприятной обстановке, чем жить в германизированном российском (а не русском) государстве, где нет уже русских, а есть только граждане спасенного германцами российского государства». Заметим, что эта проблема как нельзя более актуальна и сейчас, когда Россия вынуждена прилагать огромные усилия для сохранения своей самоидентификации. В связи с заявленной позицией Д.Д. Мордухай-Болтовской считает возможным поддержать «сепаратическую программу Каледина», которая, по его мнению, является «единственным средством спасти Донскую область от охватившей Россию гангрены…». Он анализирует путь, по которому прошла революция, через генезис целей, обращение их в средство: «Сначала желанным завоеванием революции была победа над Германией, спасение родины, а вместе с тем и спасение своей национальности… затем… победа городского пролетариата над буржуазией, а потом завоевание неинтеллигенцией – интеллигенции и даже уничтожение последней».

Д.Д. Мордухай-Болтовской видит две грозные силы на пути спасения государства и национальности. С одной стороны «германский империализм, чудовище, поглощающее другие национальности», объявившее себя «высшей» расой, провозгласившее целью исторического процесса победу «высших рас над низшими с заменой низшей культуры высшей». С другой стороны, «этот все мертвящий своим прикосновением, все нивелирующий и обесцвечивающий социализм», который не может примириться с «национальным чувством», для него «не должно быть вовсе национальности». Д.Д. Мордухай-Болтовской считает, что «оба направления близко сходятся между собой», результат получается «один и тот же».

Почему же статья называется достаточно оптимистически – «Воскрешенный Лазарь»? Потому что автор не верит в победу ни одной из этих сил, он, предвидя в будущем «великое чудо: возрождение единого, великого русского государства», наблюдает, как он считает, «…другое чудо… воскрешение Лазаря, который, выходя из могилы, являет божескую силу призывать мертвых к жизни». Мастерски владея метафорой, Д.Д. Мордухай-Болтовской использует образ воскрешенного Лазаря для того, чтобы обозначить ведущую тенденцию развития национального мировоззрения: «Воскресает теперь не Россия, а воскресает наше национальное чувство, воскресает национальная идея, умершая в атмосфере социалистического материализма».

И далее идет очень тонкое, совершенно современное замечание, которое процитируем без купюр: «Так как прогресс вовсе не представляет движение в одном направлении, а каждая нация имеет свое определенное направление, определяемое ее характером и способностями, то свободное развитие возможно большего числа национальностей обещает накопление максимума разнообразнейшего культурного богатства, которое можно сравнить с садом, в котором самые разнообразные растения взрощены с помощью различных удобрений и ухода». Это ответ из далекого 1917 г. тем современным политикам, которые не считают нужным учитывать национальные, геополитические, ментальные и другие особенности нашего народа, считая, что достаточно копировать уже удавшиеся образцы динамичного развития других стран. Поиск своего пути – задача значительно более трудная и сложная, чем копирование неких образцов, но история не раз доказала, что творческий потенциал нашего народа вполне достаточен, чтобы идти своим путем, добиваясь значительных успехов, в сравнительно короткие исторические сроки перемещаясь в ряд наиболее развитых государств мира.

В этой статье Д.Д. Мордухай-Болтовской рисует альтернативу трагическому состоянию отечественной государственности того времени, считая, что русский народ «воссоздать Россию» уже не сможет, «ее воссоздать могут совместной работой не один, а все народы, населяющие Россию, признав друг друга равноправными товарищами». В решении этой архитрудной задачи «будет постепенно определяться тот государственный строй, который должен укрепиться в российском государстве» для того, чтобы все народы России «получили бы возможность свободного развития». Воссоздание ее в этом случае будет определяться, по мнению Д.Д. Мордухай-Болтовского, «сознанием необходимости добровольного слияния между собой в единое мощное государство в видах национального самосохранения… и общностью если не всей, то высших ступеней культуры». Он не предугадал только силу, под руководством которой произойдет это слияние: отряды казаков и юнкеров, представляющих белое движение, зрелище которых в конце 1917 г. внушало ему такие надежды, не смогли решить эту задачу.

В начале последней по времени публикации статьи этого цикла «Социалистический сон» [6] Д.Д. Мордухай-Болтовской описывает крушение своих надежд на белое движение, представители которого «долго отбивали храбрые атаки изголодавшихся красногвардейцев». Победили же «последние, и таким образом им пришлось быть предрешенной Марксом акушеркой при рождении социалистического строя…».

Результатом поражения белого движения, по мнению Д.Д. Мордухай-Болтовского, будет полное разложение во всех сферах общества, апокалиптическую картину которого он рисует в статье «Сказка о стеклянном доме» [5]. Революция, расстроив «и без того тщедушную фабричную промышленность», уничтожив «большие помещичьи хозяйства», выбросит, по мнению автора, на улицы «возвращающихся с фронта рабочих», «деревенский пролетариат». И тогда «стремительный поток голодающих людей живо разрушит все эти перегородки… Он разнесет лучше шестнадцатидюймовых орудий … профессиональные союзы и советы рабочих депутатов». В городах «преступление и проституция наполнит освещенные тусклыми фонарями переулки грабителями, проститутками и сутенерами». Особую опасность Д.Д. Мордухай-Болтовской видит в «гниющей от венерических болезней трети нашей окончательно развалившейся армии…», достигших колоссальных размеров «детских эпидемий среди оставленных без надзора детей, ютящихся несколькими семьями в нетопленых, тесных и грязных помещениях и хронически голодающих…». Что же делать в этой тяжелейшей ситуации?

Д.Д. Мордухай-Болтовской, как практически во всех своих публицистических статьях этого периода, предлагает реальную, по его мнению, альтернативу надвигающемуся хаосу, понимая под нею самоорганизацию граждан в домовые и районные комитеты, которые позволят воплотить в жизнь сказку «о стеклянных домах с стеклянными стенами, полами и потолками», чтобы сосед видел боль, нищету и страдания соседа. «Пусть в каждом доме организуется крепкий союз взаимопомощи, в котором, отбросив отчаянную вражду классов, обыватели, узнав друг друга, пойдут смело навстречу страшным призракам, на них надвигающимся…». Именно в умении самоорганизоваться, объединиться в «совместной мирной работе» видит Д.Д. Мордухай-Болтовской «начало зари альтруизма, из недр которого, а вовсе не из… злобы красногвардейцев могут родиться возможные социальные реформы». Тогда, считает автор, «сбудется наяву сказка о стеклянном доме и будет положено начало мирному социальному строительству, идущему над злобной борьбой ожесточившихся друг против друга классов».

Подведем итоги.

1. Основная тема этих публикаций – трагедийное противостояние интеллигенции и «неинтеллигентной массы», интеллигенции и власти, государственного и национального в переломный момент истории.

2. Практически все статьи содержат прогнозы развития ситуации в стране, реальные угрозы ее существованию, физическому и нравственному здоровью, многие из которых, к сожалению, подтверждены дальнейшим ходом истории.

3. Часть статей содержит пророческие предвидения грядущих угроз и вызовов. Таких, например, как пугающее однообразие грядущего социалистического устройства; немецкий национал-социализм, признаки которого Д.Д. Мордухай-Болтовской сумел разглядеть еще до периода национального унижения Германии после первой мировой войны; возможного изоморфизма результатов казарменного социализма и германской теории «господства высшей расы».

4. Некоторые высказанные в этом цикле публикаций Д.Д. Мордухай-Болтовского идеи необычайно злободневны, вызывают острую полемику среди наших современников: идея воспитания в духе патриотизма и уважения к личности, идея свободы как средства, а не цели прогресса, взаимоотношение «русского» и «российского», учет национальных, геополитических, ментальных и других особенностей нашего народа при поиске стратегического направления развития России и др.

5. Часть публицистических статей Д.Д. Мордухай-Болтовского этого цикла требует дальнейшего детального анализа их содержания с философской, психологической, педагогической и даже методической точек зрения.

Список литературы

1. Белозеров С.Е., Миесерова С.И., Ткачева В.А. Механико-математический факультет Ростовского университета. Вып. 2. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1972.

2. Архив РГУ, ф.Р-46, оп.22, д.63 а, л.266 об.; ГАРО, ф.Р-2605, оп.1, д.78, л.75 об.

Как я организую общение учеников с математикой // Практические советы учителю: Методический журнал РОИПК и ПРО, 2003. №8. С.29-32.

(скоро появится ...)

Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской и его методическое наследие // Практические советы учителю: Методический журнал РОИПК и ПРО, 2003. №8. С.32-34.

Мордухай-Болтовской Дмитрий Дмитриевич (27.07.1876 - 7.02.1952) - математик, доктор физико-математических наук (1935), профессор (1907). Родился в Павловске. После окончания Петербургского университета работал сначала там же, затем в Варшавском политехническом институте, Донском политехническом институте, Варшавском университете, высших учебных заведениях Ростова-на-Дону. Мордухай-Болтовской исследовал вопросы об интегрировании в конечном виде трансцендентных функций и решении в квадратурах дифференциальных уравнений; доказал, что функцию, определяемую рядом, нельзя определить алгебраическим дифференциальным уравнением (22-я математическая проблема Гильберта); исследовал трансцендентные числа, имея в виду решение 7-й проблемы Гильберта; работал над проблемами четырехмерного пространства Лобачевского, над геометрией построений, над вопросами, которые касаются алгебраических кривых, и т.д. Много внимания ученый уделял вопросам истории и методики преподавания математики. Он перевел на русский язык математические труды И. Ньютона и "Начала" Евклида.

Д.Д. Мордухай-Болтовской внес большой вклад в развитие математики ХХ века. Также он много сил и внимания отдал развитию проблем методики преподавания математики как среднего, так и высшего уровней, участвовал в работе знаменитых Всероссийских съездов преподавателей математики начала ХХ в. Однако эта сторона деятельности Д.Д. Мордухай-Болтовского практически не исследована в отечественной историко-методической литературе.

Много методических идей Дмитрия Дмитриевича находятся в его статьях, напечатанных в различных журналах для учителей. Другая их часть находится в статьях, которые остались неопубликованными и хранятся в Петербургском филиале архива Российской Академии Наук ф.821.

В своих работах Д.Д. Мордухай-Болтовской высказывал методические идеи по многим проблемам как общей, так и частной методики преподавания математики. Из общих вопросов он рассматривал такие, как:

- дидактические проблемы обучения математики;

- философские проблемы в курсе математики основной школы;

- прошлое, настоящее и будущее методики математики;

- логика построения математической школьной дисциплины;

- математическая мнемоника;

- анализ и синтез в методике преподавания математики;

- эвристический метод в преподавании математики;

- научная строгость и методика преподавания математики.

Статьи, посвященные этим вопросам, остались ненапечатанными, но сними можно ознакомиться на нашем сайте www.pyrkovve.narod.ru, посвященном Д.Д. Мордухай-Болтовскому и его научному наследию. А вот статьи, посвященные вопросам частной методики преподавания математики, можно найти в таких известных широкому кругу читателей методико-математических журналах, как "Математика в школе", "Математическое образование", "Вестник опытной физики и элементарной математики", "Общешкольный журнал", "Физика, химия, математика и техника в советской школе", "Математическое просвещение", "Народное образование" и др., где освещаются следующие вопросы:

- проблемы методики школьной математической символики;

- проблемы историзации школьного математического образования;

- методика преподавания алгебры;

- методические проблемы пропедевтического и систематического курсов геометрии;

- методические проблемы школьной геометрической терминологии;

- методические проблемы школьных геометрических определений;

- методические проблемы школьного геометрического доказательства;

- использование геометрических моделей и их роль в школьном преподавании;

- изучение неевклидовой геометрии в средней школе;

- методические проблемы, относящиеся к поверхностям и объемам;

- методические проблемы преподавания анализа в средней школе;

- методические проблемы геометрического построения в средней школе и др.

Многие из этих проблем являются актуальными для современного матемаического образования, и гения Д.Д. Мордухай-Болтовского хватила настолько, что и через полвека высказываемые им идеи могут применяться в современном школьном математическом образовании.

Одна из таких идей, которую он впервые высказал на I Всероссийском съезде преподавателей математики, а затем разработал в статье "Логика построения математической школьной дисциплины", касается применения принципа двойственности в преподавании курса геометрии средней школы. Причем сам принцип двойственности рассматривается не столько как математический, сколько как методический принцип.

Нами предпринята попытка разработки технологии внедрения этого принципа в школьный курс геометрии, и даже некоторые темы школьного курса геометрии мы излагаем с опорой на этот принцип, имеющий, как нам кажется, огромный потенциал для своего применения в преподавании геометрии.

О возможности применения принципа двойственности в школьном курсе геометрии // Практические советы учителю: Методический журнал РОИПК и ПРО, 2003. №8. С.34-36.

Суть принципа двойственности заключается в том, что из одного верного высказывания путем замены входящих в него понятий на так называемые двойственные понятия можно получить другое, также верное высказывание.

Этот философский принцип, сформулированный французским ученым Понселе, находит свое применение во многих областях высшей математики (теория множеств, математическая логика, проективная геометрия и др.). Теснее всего принцип двойственности примыкает к проективной геометрии и теории полюсов и поляр.

Открытие принципа двойственности облегчило изучение разделов геометрии. Так как при одновременном рассмотрении двойственных понятий изложение стало более ясным и экономным, то стали появляться попытки перенести этот принцип в элементарную геометрию и даже построить на нем школьный курс. В конце XIX в. такая попытка была предпринята в (продолжение следует ...)

Программа элективного курса "Двойственные преобразования" // Практические советы учителю: Методический журнал РОИПК и ПРО, 2003. №8. С.36-47.

(скоро появится ...)

Формирование непрерывного курса информатики (1-11 кл.) в лицее №33 "Физико-математическом" г.Ростова-на-Дону // Мониторинг реализации программы информатизации и создания единого информационного пространства в муниципальной системе образования г.Ростова-на-Дону. Ростов-на-Дону, 2003. С.82-84.

В лицее накоплен методический опыт, сложились определенные традиции в преподавании курса информатики на базе 8-11 классов. Изменение метериально-технической базы привело к изменению учебного плана и к необходимости формирования непрерывного курса в 1-11 классах. Проанализировав нормативные документы и различные варианты программ, мы пришли к выводу, что структура непрерывного курса должна иметь воронкообразную форму с 4 основными концентрами:
- 1-4 классы - пропедевтический курс "Развивающая информатика";
- 5-7 классы - начальный курс "Основы информатики";
- 8-9 классы - базовый курс "Информатика и Информационые технологии";
- 10-11 классы - профильные курсы: "Вычислительная математика", "Компьютерное делопроизводство" и др ;

На каждом из этих этапов прослеживаются одни и те же основные понятия и идеи (сквозные темы). С каждым последующим этапом материал дается на более высоком теоретическом уровне и расширяется за счет прикладных тем.

Основная цель пропедевтического курса "Развивающая информатика" состоит в формировании "информационного" стиля мышления, который должен сочетать аналитическое мышление математика, логическое мышление следователя, конкретное мышление физика, образное мышление художника. Курс должен выполнять интегрирующую функцию и поддерживаться программно-педагогическими средствами на уроках по русскому языку, математике, природоведению, изобразительной деятельности и др. Организация изучения курса допускает различные варианты использования компьютера в учебном процессе. Изучение курса проводится в игровой форме, делая основной акцент на алгоритмизацию, логические и развивающие игры.

Цели курса "Основы информатики" включают в себя: развитие творческой активности учащихся и самостоятельности в процессе обучения; формирование информационной и алгоритмической культуры, представлений о составе и структуре компьютера, облостях его применения, овладение компьютерной техникой и информационными технологиями. Основные линии курса: информация и информационные процессы; представление информации; знакомство с компьютером; моделирование и формализация; алгоритмы и исполнители; информационные технологии.

Основной целью базового курса "Информатика и информационные технологии" - обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися основами знаний о процессах получения, преобразования, передачи и использования информации и на этой основе раскрыть учащимся значение информационных процессов в формировании современной научной картины мира, роли информационных технологий и вычислительной техники в развитии современного общества, привить им навыки сознательного и рационального использования компьютеров в своей учебной, а затем профессиональной деятельности.

В профильных курсах "Вычислительная математика", "Информационные технологии для математика", "Компьютерное делопроизводство", "Основы Web-дизайна и разработка Web-сайтов", "Программирование Visual Basic" и др. в качестве методической поддержки используются нормативные документы, методическая и учебная литература, а также обучающие и методические диски, широко представленные в медиатеке лицея.

Методическое наследие выдающихся отечественных математиков как источник создания современных методических систем обучения математике // "Математика в современном мире": Материалы II Российской научно-практической конференции. - Калуга: Изд-во КГПУ, 2004. С.62-70. (в соавт. с Т.С. Поляковой)

Характерной чертой современной образовательной ситуации являются динамичное развитие и кардинальные изменения как в структуре и содержании образования, так и в его концептуальных основах. С одной стороны, причиной этого является государственный заказ и проводимая Министерством образования и науки реформа образования, с другой - бурное развитие общепедагогических, дидактических и методических исследований. Качественные изменения в педагогических концепциях неизбежно влекут изменения в методике обучения и воспитания конкретных образовательных дисциплин. Так, теория и методика обучения математике, созданная в рамках субъектно-объектной модели педагоги-ки советского периода, не может быть с таким же успехом применима в рамках личностно-ориентированного и развивающего обучения. Между тем, методические идеи, созвучные данным педагогическим концепциям, были популярны и бурно обсуждались математической и методической общественностью еще в дореволюционной России.

Отметим, что 90-е годы ХХ в. характеризовались резкой и часто не очень обоснованной критикой тех несомненных достижений в сфере образования, которых достигла наша страна в течение ХХ в. Лишь сравнительно недавно ситуация объективизировалась, практически на всех уровнях социума вновь признается высокий уровень отечественного образования. Так, в выступлениях руководства страны, в частности, Президента РФ, признается, что исторически сложившаяся в России система образования "демонстрирует значительные преимущества перед многими зарубежными аналогами", причем наиболее качественной является её естественно-математическая составляющая.

В то же время в публикациях Ж.И. Алферова, В.И. Арнольда, Ю.М. Колягина, Л.Д. Кудрявцева, С.М. Никольского, Т.С. Поляковой, В.А. Садовничего, Н.Х. Розова , И.Ф. Шарыгина и мн. др. неоднократно подчеркивается, что отечественное математическое образование было и до сих пор является общепризнанным мировым эталоном.

Этот факт актуализирует необходимость исследований, посвященных истории отечественного математического образования. Какими путями оно развивалось, достигнув в середине ХХ в. эталонного уровня? Как влияла на этот процесс подготовка учителя математики? Какова роль в нем математической науки и ученых-математиков, преподавателей высших учебных заведений? Как зарождаются и развиваются методические идеи? Эти и другие глобальные проблемы, связанные с историей математического образования, несомненно актуальны для современного этапа его развития, т.к. они позволяют не только выявить факторы, способствовавшие его эффективности в ретроспективе, но и наметить перспективные направления совершенствования математического образования.

Поэтому интенсивный поиск и разработка методической составляющей современного педагогического процесса порождает спрос на исторические знания, выступающие в некоторых случаях в качестве образцов-эталонов. Для успешного использования этих эталонов они должны быть исторически отслежены и представлены в большом многообразии. В таком случае по этим эталонам можно будет создавать новые методические концепции и системы, которые будут решать новые задачи в новой социально- педагогической ситуации. Все это обусловливает тот факт, что в изучение отдельных аспектов истории отечественного математического образования включается все более широкий круг исследователей.

За последние годы появились серьезные монографические исследования (Ю.М. Колягин, Т.С. Полякова) общей истории математического образования в России; обширные статьи по отдельным её направлениям в специализированной периодике (Р.З. Гушель, С.С. Демидов, Ю.А. Дробышев, Т.С. Полякова, Н.Х. Розов, О.А. Саввина, В.М. Тихомиров, Р.С. Черкасов и мн.др.); защищаются кандидатские (Г.И. Алексеева) и докторские (О.А. Саввина) диссертации; по этой проблематике проводятся юбилейные научные конференции.

Достаточно красноречив тот факт, что из 38 опубликованных докладов к российской презентации на Х Международном конгрессе по математическому образованию (Копенгаген, 2004) 14 полностью или частично посвящены истории отечественного математического образова-ния.

Особое внимание исследователей и широкой математической общественности обращено в последние годы на персоналистический компонент истории математического образования в России. Научно-методические конференции ведущих вузов очень часто посвящены памяти выдающихся математиков, внесших значительный вклад в развитие математического образования нашей страны. Так, только за последние несколько лет состоялись конференции, посвященные научной и методико-педагогической деятельности М.В. Остроградского (С.-Петербург, Калуга, 2002), А.П. Киселева (Орел, 2003), Л.Ф. Магницкого (Тверь, 2003), А.Н. Колмогорова (Москва, Ярославль, 2003), И.К. Андронова (Москва, 2004), А.И. Хинчина (Калуга, 2004) и др. По материалам конференций публикуются сборники статей и тезисов, которые содержат новые сведения о творческой биографии, педагогических и методических воззрениях выдающихся деятелей математического образования и характеризуют развитие генерированных ими методических идей.

Историко-биографические книги часто характеризуют роль выдающегося математика в развитии отечественного математического образования. Так, например, в книге о А.Н. Колмогорове имеется специальный раздел "Колмогоров и математическое образование".

Однако в публикациях подобного рода мы не встречали профессионального анализа методического наследия выдающихся математиков, в то время как со времен Л.Эйлера (см. исследования Т.С. Поляковой) методическое творчество явно или неявно очень часто занимает значительное место в их деятельности.

Это целиком и полностью относится к методическому наследию выдающегося мыслителя и математика ХХ в., педагога и методиста Д.Д. Мордухай-Болтовского (1876-1952).

Наиболее полно и систематизированно педагогические и методические воззрения Д.Д. Мордухай-Болтовского представлены в написанных им отчетах о работе I и II Всероссийских съездов преподавателей математики (1912, 1915), в ряде научных публикаций в центральных педагогических и методических журналах, а также в оставшихся неопубликованными материалах.

С именем Д.Д. Мордухай-Болтовского мы связываем не только развитие теоретической методики обучения математике первой половины XX в., но и становление общего среднего и особенно высшего математического образования на Дону.

Д.Д. Мордухай-Болтовской разрабатывал наиболее актуальные для своего времени проблемы математического образования среднего и высшего уровней: теоретико-методологические основы школьного курса математики, содержание математического образования, формы и методы обучения математике, теория и методика урока математики, вопросы подготовки учителей математики и организации методической аспирантуры и др. Его перу принадлежат многочисленные труды по истории и философии математики и даже по истории развития в математическом образовании некоторых методических идей.

Следует признать, что значительный вклад Д.Д. Мордухай-Болтовского в различные отрасли науки не был оценен по достоинству, несмотря на очень большой авторитет, который он имел в педагогико-математическом сообществе, значительное количество учеников и по-следователей.

Тем не менее, его жизни и педагогической деятельности (преимущественно в высшей школе) посвящены статьи ученых Дона М.Г. Хапланова, М.П. Черняева, М.Б. Налбандян.

В 90-х гг. ХХ в. интерес к личности и научному наследию Д.Д. Мордухай-Болтовского заметно возрастает. Целый ряд исследователей публикует работы, посвященные изучению наследия ученого. В 1993 г. в исторических очерках "Деятели русской науки XIX-ХХ вв." (СПб., ИИЕТ. Вып. II) выходит статья А.С. Степановой "Неизвестные страницы жизни и научной деятельности Д.Д. Мордухай-Болтовского (1876-1952)". В 1994 и 1998 годах появляются депонированные работы М.Б. Налбандян и Ю.С. Налбандян, освещающие некоторые аспекты научно-педагогической деятельности Д.Д. Мордухай-Болтовского в Варшаве и Ростове-на-Дону. Наконец, в 1998 г. в серии "Философы Рос-сии ХХ века" выходит собрание сочинений Д.Д. Мордухай- Болтовского, объединенных триадой "философия-психология-математика" (М.: Серебряные нити, 1998). Составитель сборника А.В. Родин предваряет собрание сочинений краткими биографическими сведениями об ученом и предпринимает попытку характеристики его научного наследия. Тем не менее, полное представление о творческой биографии Д.Д. Мордухай-Болтовского, научном и - особенно - методическом его наследии до сих пор отсутствует.

Мы поставили перед собой следующие задачи: 1) восполнить недостающие фрагменты творческой биографии ученого, 2) провести анализ его методического наследия, 3) выбрать конструктивные методические идеи Д.Д. Мордухай-Болтовского и 4) использовать некоторые из них в качестве образца-эталона для построения современной методической системы обучения математике. Покажем, как мы выполнили поставленные задачи.

1. В процессе исследования нами обнаружены, изучены и систематизированы материалы о творческой биографии Д.Д. Мордухай-Болтовского, позволившие:
- выполнить обзор исследований о Д.Д. Мордухай-Болтовском, подтверждающий интерес математической и методической общественности к личности, творчеству и научному наследию ученого;
- ввести в научный оборот архивные документы и другие ранее не опубликованные материалы, содержащие биографические сведения о родословной (1200-2004 гг.), детстве и годах учебы Д.Д. Мордухай-Болтовского;
- инициировать создание творческой и научной биографии Д.Д. Мордухай-Болтовского; произвести её периодизацию: варшавский период 1898-1915 гг., ростовский период 1915-1947 гг. и последние годы жизни 1947-1952 гг.;
- раскрыть роль Д.Д. Мордухай-Болтовского как организатора первой научной математической школы на Дону и организатора высшего математического (в том числе математико-педагогического) образования в этом регионе;
- охарактеризовать ранее неизвестную публицистическую деятельность ученого 1917-1918 гг., которая дает полное представление не только о политических пристрастиях и взглядах Д.Д. Мордухай-Болтовского этого периода, но характеризует настроения значительного слоя интеллигенции России в эти переломные годы.

В создании этой части исследования были использованы: а) более трехсот документов из шести различных архивов страны; б) записанные нами воспоминания учеников и коллег Д.Д. Мордухай-Болтовского; в) беседы с родственниками и материалы семейного архива Болтовских; г) публикации в местной периодической печати, освещающие педагогическую деятельность Д.Д. Мордухай-Болтовского; д) работы предыдущих исследователей жизни и научного творчества ученого.

2. Анализ опубликованных методических работ, обнаруженных нами в архивах рукописей и сохранившихся в частных коллекциях курсов лекций Д.Д. Мордухай-Болтовского, составляющих методическое наследие ученого, позволили:
- выполнить общий обзор методического наследия ученого, позволяющий охарактеризовать его методические и педагогические приоритеты;
- выявить и подвергнуть анализу исследования ученого по актуальным вопросам теории школьного математического образования;
- рассмотреть предложенные Д.Д. Мордухай-Болтовским решения избранных проблем методики обучения геометрии в школе;
- показать актуальность и ценность методического наследия Д.Д. Мордухай-Болтовского, оценить его вклад в развитие теории и методики отечественного математического образования.

3. В качестве актуальных методических проблем из методического наследия Д.Д. Мордухай-Болтовского нами выделены:
- проблемы методики использования эвристических методов в обучении математике;
- проблемы историзации школьного математического образования;
- проблемы логики построения школьного курса геометрии;
- проблемы школьного геометрического доказательства;
- проблемы использования геометрических моделей и развития пространственного воображения учащихся и др.

4.В роли исторического эталона-образца для создания современной методической системы школьного математического образования мы выделили исследования Д.Д. Мордухай-Болтовского о применении принципа двойственности в качестве концептуального положения в построении логики школьного курса геометрии.

Проведя анализ отечественной и зарубежной методической литературы первой половины XX в., мы установили, что интерес к проблеме использования принципа двойственности при обучении геометрии в школе имелся всегда, но до сих пор она не была реализована в школьном математическом образовании. Идеи, которые могут послужить толчком для развития этих исследований, мы встретили в хранящейся в ПФА РАН статье "О логике школьного курса математики", представляющей рукописное наследие ученого и ранее не подвергавшейся какому-либо анализу. Приведем содержащиеся в ней основные идеи, касающиеся использования принципа двойственности в школьном курсе геометрии:
1. Если раньше Д.Д. Мордухай-Болтовской говорил о возможностях только лишь фрагментарного использования принципа двойственности при изучении курса геометрии, то теперь он утверждает о возможности построения школьного курса геометрии на основе этого принципа: "Можно выдвинуть, как основной принцип построения <школьного> курса геометрии, принцип двойственности".
2. В учебнике, написанном с опорой на этот принцип, разумно "располагать по возможности теоремы в пары в два столбца: в одном одну теорему, в другом ей взаимную".
3. Следует четко разграничить закон двойственности и принцип двойственности.
4. При изложении материала возможно использование преобразования "превращающего всякую конфигурацию в такую, которая может считаться взаимной", например преобразование взаимных поляр.
5. Не следует внушать учащемуся, что такая двойственность построения теорем может быть проведена для всех теорем, так как такое преобразование может вносить в построение взаимной теоремы некоторый произвол: не всегда теоремы будут оказываться парными.
6. Преобразование исходной геометрической конфигурации не обязательно должно производиться по законам преобразования взаимных поляр: "принцип двойственности может относиться только к выбору того объекта, к которому относятся характерные свойства".
7. При изучении стереометрии возможно распространение принципа двойственности в пространство. Например: плоскости, пополам рассекающие двугранные углы, пересекаются по одной прямой.

Тем не менее, анализ проблемы этой части исследования показал, что построение курса геометрии общеобразовательной школы на основе принципа двойственности - предмет дальнейших исследований. На современном этапе разработанности данной проблемы уместно познакомить учащихся с идеей двойственности в рамках элективного курса, ориентируясь на его использование в профильных математических школах и классах.

Концептуальные основы курса "Двойственные преобразования" составляют следующие современные психолого-педагогические и методические концепции математического образования:
- концепция развивающего обучения,
- концепция личностно-ориентированного обучения и воспитания;
- концепция профилизации среднего образования;
- концепция использования современных технологий обучения;
- концепция метапредметности содержания образования;
- концепция двойственности абстрактного знания.

Разработка содержательных основ и методического аппарата курса "Двойственные преобразования", привели к:
- созданию полиструктурной программы курса, включающей: 1) методическую систему курса "Двойственные преобразования", в которой представлена общая характеристика курса, его основных функций в среднем математическом образовании, цели курса и организация его изучения; 2) содержание курса и основные принципы его отбора; 3) тематику исследовательских проектов; 4) список литературы к каждому занятию;
- разработке тематического плана курса "Двойственные преобра-зования", опорных конспектов занятий включающих тему, цель, собственно план, список рекомендуемой литературы, тематику общих и индивидуальных исследовательских проектов, инвариантную часть содержания занятия.

Отбор содержания курса "Двойственные преобразования" основан на следующих принципах: 1) преемственности содержания; 2) специальной направленности; 3) фундаментальности и усиления методологической составляющей; 4) вариативности; 5) минимизации; 6) значимости персоналистического компонента; 7) функциональной полноты компонентов содержания; 8) соответствия современному уровню развития методической и педагогической науки.

При разработке программы курса с учетом указанных принципов отбора содержания были выделены такие разделы как "Принцип двойственности в элементарной геометрии", "Конструктивное определение двойственных преобразований", "Взаимные теоремы школьного курса геометрии", "Использование двойственных решении задач", "Использование двойственных преобразований для конструирования теорем". Последние три раздела были представлены в нескольких направлениях, а именно: 1) геометрия треугольника; 2) геометрия четырехугольников; 3) геометрия окружности.

В процессе реализации курса "Двойственные преобразования" использовались такие современные технологии обучения математике, как:
- проблемно-исследовательские технологии обучения;
- технология проектного обучения математике;
- технология эвристического "погружения";
- технологии индивидуализированного обучения.

Проведение опытно-экспериментальной работы по внедрению элективного курса "Двойственные преобразования" в процесс профильной подготовки учащихся физико-математического лицея №33 г.Ростова-на-Дону позволило сделать вывод о его высокой эффективности, что проявилось в:
- формировании устойчивой мотивации к изучению курса "Двойственные преобразования" и курса геометрии в целом;
- обеспечении высокого уровня усвоения теоретического материала курса "Двойственные преобразования", и умений учащихся использовать принцип двойственности при решении геометрических задач различного типа;
- положительной динамике роста числа самостоятельных исследовательских работ по математике с использованием идей, заложенных в курсе "Двойственные преобразования";
- существенном влиянии курса на формирование мировоззренческих представлений учащихся;
- высокой динамике роста индексов мотивации, творческой активности и самостоятельности учащихся.

Перечисленные факторы говорят о высокой эффективности курса "Двойственные преобразования" в профильной подготовке учащихся специализированных школ и классов с углубленным изучением математики, а также об адекватности выбранных нами форм, методов и средств, используемых в процессе его изучения, основным целям и задачам современного математического образования.

Выполненное исследование и практическая деятельность одного из авторов (атрибутация захоронения ученого, создание музейной экспозиции в Ростовском госпедуниверситете, организация установки мемориальной доски по одному из адресов педагогической деятельности ученого, инициирование учреждения именной стипендии Д.Д. Мордухай-Болтовского на отделении математики Института физики, математики, информатики, естествознания и технологий РГПУ и др.) служат объективизации истории математического образования в России и на Дону, выполняют функции научной и практической реабилитации некоторых фрагментов жизни, творческой деятельности и научного наследия Д.Д. Мордухай-Болтовского.

К сожалению, приходится констатировать, что работа, аналогичная проведенной в нашем исследовании, в отношении выдающихся отечественных математиков не выполняется. Если в прошлом блестящие образцы подобной работы имеются (Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVII-XIX веков. М.:Учпедгиз, 1956), то роль математиков XX в. в развитии математического образования не подвергалась специальному исследованию.

Методико-математическое сообщество должно восполнить этот дефект исследований по теории и методике математического образования, не только отдавая дань уважения предшествующим поколениям педагогов-математиков, благодаря которым стал возможным феномен эталонности отечественного математического образования, но и принимая во внимание возможность создания современных методических систем на базе выдвинутых ими идей.

Математика: "Двойственные преобразования в геометрии". Программа предметно-ориентированного элективного курса по предпрофильной подготовке в 8-9 классах / в книге: Гульчевская В.Г. Курсы по выбору в предпрофильном обучении учащихся. Научно-методическое пособие. Ростов-н/Д: Изд-во РО ИПК и ПРО, 2004. С.30-46.

скоро появится

Развитие патерналистских традиций отечественного математического образования в творческой деятельности Д.Д. Мордухай-Болтовского // Математическое образование и наука в педвузах на современном этапе. - Пермь: Изд-во ПГПУ, 2006. С.85-91. (в соавт. с Т.С. Поляковой)

90-е годы ХХ в. характеризовались резкой и часто не очень обоснованной критикой тех несомненных достижений в сфере образования, которых достигла наша страна в течение ХХ в. Лишь сравнительно недавно ситуация объективизировалась, практически на всех уровнях социума вновь признается высокий уровень отечественного образования. Так, в выступлениях руководства страны, в частности, Президента РФ, признается, что исторически сложившаяся в России система образования «демонстрирует значительные преимущества перед многими зарубежными аналогами», причем наиболее качественной является её естественно-математическая составляющая.

В то же время в публикациях Ж.И. Алферова, В.И. Арнольда, Ю.М. Колягина, Л.Д. Кудрявцева, С.М. Никольского, В.А. Садовничего, Н.Х. Розова, И.Ф. Шарыгина и мн. др. неоднократно подчеркивается, что отечественное математическое образование было и до сих пор является общепризнанным мировым эталоном.

Все это актуализирует необходимость исследований, посвященных истории отечественного математического образования. За последние годы появились серьезные монографические исследования (Ю.М. Колягин, Т.С. Полякова) общей истории математического образования в России; обширные статьи по отдельным её направлениям в специализированной периодике (Р.З.Гушель, С.С. Демидов, Ю.А. Дробышев, Т.С. Полякова, Н.Х. Розов, О.А. Саввина, В.М. Тихомиров, Р.С. Черкасов и мн.др.); защищаются кандидатские (Г.И.Алексеева, В.Е. Пырков) и докторские диссертации (О.А. Саввина); по этой проблематике проводятся юбилейные научные конференции.

Особое внимание исследователей и широкой математической общественности обращено в последние годы на персоналистический компонент истории математического образования в России. Научно-методические конференции ведущих вузов очень часто посвящены памяти выдающихся математиков, внесших значительный вклад в развитие математического образования нашей страны. Так, только за последние несколько лет состоялись конференции, посвященные научной и методико-педагогической деятельности М.В. Остроградского (С.-Петербург, Калуга, 2002), А.П. Киселева (Орел, 2003), Л.Ф. Магницкого (Тверь, 2003), А.Н. Колмогорова (Москва, Ярославль, 2003), И.К. Андронова (Москва, 2004), А.И. Хинчина (Калуга, 2004) и др. По материалам конференций публикуются сборники статей и тезисов, которые содержат новые сведения о творческой биографии, педагогических и методических воззрениях выдающихся деятелей математического образования и характеризуют развитие генерированных ими методических идей.

Историко-биографические книги часто характеризуют роль выдающегося математика в развитии отечественного математического образования. Так, например, в книге о А.Н. Колмогорове имеется специальный раздел «Колмогоров и математическое образование».

Однако в публикациях подобного рода мы не встречали профессионального анализа методического наследия выдающихся математиков, в то время как со времен Л.Эйлера методическое творчество явно или неявно очень часто занимает значительное место в их деятельности. Более того, мы считаем, что, начиная с Эйлера, математика как наука в лице ее выдающихся представителей активно патронирует отечественное математическое образование. Этому вопросу посвящена наша статья в «Историко-математических исследованиях», в которой раскрываются патерналистские традиции отечественного математического образования XVIII – первой половины XIX в.

Эти традиции в первой половине XX в. творчески развил выдающийся мыслитель и математик, педагог и методист Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской (1876-1952). Причем, с именем Д.Д. Мордухай-Болтовского мы связываем не только развитие теоретической методики обучения математике первой половины XX в., но и становление общего среднего и особенно высшего математического образования на Дону. Дадим краткий обзор методического наследия Д.Д. Мордухай-Болтовского.

В 1907 г. молодой ученый публикует сборник упражнений по математическому анализу, в котором [20] особый интерес представляют не только подбор и классификация задач, но и те методические рекомендации, которые автор сформулировал во вступлении, изложив различные способы ведения практических занятий в зависимости от поставленных целей.

Спустя год в журнале «Вопросы философии и психологии» появляется солидное исследование Д.Д. Мордухай-Болтовского «Психология математического мышления» [19]. В нем раскрываются причины того, почему «не все могут ею < математикой, – Т.П., В.П.> заниматься и очень немногие желают ею заниматься». Также в этой статье он формулирует свое представление о математике, главное педагогическое значение которой, по его мнению, «состоит в том, что в математике, преимущественно перед другими предметами, ученику предоставляется самостоятельная умственная работа»[19, с.534].

В связи с проявившимся интересом к методическим проблемам Д.Д. Мордухай-Болтовской был направлен для участия в работе русской подкомиссии Международной комиссии по преподаванию математики (1909 г.) и заседаниях I и II Всероссийских съездов преподавателей математики (1912-1914 гг.). Публикуя обстоятельные отчеты об их работе [1, 14], Д.Д. Мордухай-Болтовской попутно давал оценки обсуждаемым вопросам и высказывал свои методические и педагогические взгляды.

Вопросы, обсуждаемые на этих съездах, касались реформы математического образования, зародившейся в Германии и Франции, идеи которой получили широкое распространение в связи с работой Международной комиссии по преподаванию математики, возглавляемой Ф.Клейном.

На страницах отчета Д.Д. Мордухай-Болтовского по итогам работы I съезда рассматриваются вопросы, касающиеся как общей, так и частной методики преподавания математики. Среди общих можно выделить вопрос о философском элементе в математике средней школы [14, С.18-20] и историческом элементе в преподавании математики [14, С.20-22]. Среди вопросов частной методики наиболее богато представлена методика преподавания геометрии. Обсуждения касались как пропедевтического [14, С.22-24], так и систематического [14, C.24-27] курсов геометрии. Рассматривался вопрос о геометрических моделях и их роли в преподавании [14, С.27-30]. Бурную дискуссию вызвало обсуждение введения неевклидовой геометрии в среднюю школу [14, С.15-18]. В преподавании алгебры защищалась идея функциональной зависимости [14, С.9-15] и номографии [14, С.33-35].

В отчете о II Всероссийском съезде преподавателей математики Д.Д. Мордухай-Болтовской представил философские, методические и дидактические очерки, касающиеся докладов съезда. Среди обсуждаемых вопросов следует отметить вопросы о соотношении научности и доступности, т.н. «научной экономии и педагогической щедрости» в преподавании [1, С.13-34]; соотношении «педагогического рано и поздно» [1, С.49-60]; педагогического «филогенезиса и онтогенезиса» [1, С.60-66]. Рассматривались вопросы, касающиеся подготовки учителей [1, С.66-80] и развивающего обучения, направленного на «развитие интеллектуальных и мыслительных способностей ученика» [1, С.80-90]. Обсуждался также вопрос и о методических и психологических особенностях математического «обучения мальчиков и девочек» [1, С.90-94]. Особое внимание было уделено логическим, психологическим и методическим проблемам, связанным с чертежами и моделями [1, С.34-49].

Участие Д.Д. Мордухай-Болтовского, одного из немногих представителей профессуры, в работе Всероссийских съездов преподавателей математики укрепило в нем тягу к методической работе, к которой он всегда стремился. Как и в других областях научного знания, его методическая деятельность оказалась необычайно плодотворна.

Среди сохранившихся материальных источников, представляющих методическое наследие ученого, можно выделить несколько основных групп:

В архивах, библиотеках, в том числе частных, нами обнаружено и частично приобретено большое количество источников всех пяти групп (см. уточненную библиографию опубликованных работ и рукописи архивного фонда Д.Д. Мордухай-Болтовского в диссертации одного из авторов статьи). Рассмотрим обзорно первые две группы указанных источников.

Из методических статей, опубликованных в отечественных изданиях, наиболее полно представлены вопросы, связанные с преподаванием геометрии. В основном это статьи, помещенные на страницах журнала «Математика в школе» (более раннее название «Физика, химия, математика и техника в советской школе»). Это не только более общие исследования, касающиеся проблем школьной геометрической терминологии [10], методики геометрических определений [8] и школьного геометрического доказательства [15], но и вопросы более частного характера, например, методические проблемы, относящиеся к поверхностям и объемам [9] и вопросы, касающиеся моделей [12]. Отметим также статью «Геометрия как наука о пространстве» [2], в которой рассматриваются методические проблемы наглядной, рационалистической, формально-логической и гипотетической геометрий.

Среди специальных исследований следует выделить статьи, посвященные изучению школьных математических ошибок и их связи с ошибками в математике как науке [6].

Различные образовательные области математики рассматриваются в статьях «Математика и логика в школе» [5], «Принцип непрерывности и его методическое значение» [18], «Функции в арифметике»[21].

Весьма многообразно представлены исследования по истории методики математики. Значение этих исследований хорошо аргументировано в статье «Основы арифметики в середине XVIII в.» (Математика в школе, 1941, №4)[17]. В журнале «Математическое образование» опубликованы историко-методические исследования Д.Д. Мордухай-Болтовского, посвященные методу наложения в элементарной геометрии [3] и методу исчерпывания [7], а также освещающие проблемы ненатурального и апагогического доказательства (т.е. доказательства от противного) в их историческом развитии [11]. Журнал «Математика в школе», помимо уже указанной статьи, опубликовал на своих страницах исследования по истории и методике математического символа, а также обзор новейших (на 1932 г.) немецких учебников по элементарной математике, выполненный Д.Д. Мордухай-Болтовским [13]. Такой же характер носит статья «Философские элементы в эволюции методических идей в математике первой половины XIX в.» [4] и доклад, сделанный в обществе естествоиспытателей при СКГУ «Новые исследования по истории методики математики».

Особое место в этой части методического наследия Д.Д. Мордухай-Болтовского занимает статья [16], посвященная проблемам развития методики математики и аспирантуре в педагогических институтах (см.: Народное образование 1948, №4).

Что касается методических публикаций в иностранных журналах, то здесь мы ограничены только имеющимися в библиографии их названиями, по которым можем строить предположения об их содержании. Хотя сами статьи нами не обнаружены, есть все основания полагать, что приведенный в библиографии список этих статей при более тщательном исследовании может быть пополнен. Нами обнаружено только одно подобное издание [25]. Ввиду ограниченности узко-специальных научных фондов иностранной литературы в российских библиотеках, пополнение такого рода работ и их анализ пока не представляются возможным.

Две работы Д.Д. Мордухай-Болтовского, изданные в европейских журналах, касаются актуальной в то время проблемы обучения взрослых: «Методика обучения взрослых» [27], изданная в Милане, и вышедшая в Германии «Педагогика для детей и педагогика для взрослых» [22]. В Милане же была переиздана статья Д.Д. Мордухай-Болтовского «Психология математического мышления» [28], там же вышла статья «Методика демонстраций» [26]. Оставшиеся работы носят историко-методический характер: «Биогенетический закон в математике» [29], «Гетерогония целей в математике» [24], «Понятие бесконечности – исторические и критические заметки» [30], «Генезис и история теории пределов» [23].

Методические исследования Д.Д. Мордухай-Болтовского относятся преимущественно к началу ХХ в. Надо сказать, что в это время в научной среде бытовало мнение о том, что занятие ученого крупного ранга методическими вопросами непрестижно и даже, в какой-то мере, принижало его научный статус. В связи с этим очень немногие ученые-математики занимались проблемами методики преподавания математики. Поэтому надо отдать должное научной смелости одного из общепризнанных выдающихся мыслителей первой половины XX в.

Многие из методических проблем, поднимаемых в статьях Д.Д. Мордухай-Болтовского, являются актуальными и для современного математического образования. Другие «подобно семенам, брошенным слишком ранней весной» [14, С.21], ждут, когда настанет их час.

Итак, выдающийся математики и мыслитель ХХ в. Д.Д. Мордухай-Болтовской успешно развил традиции патронирования математического образования математикой как наукой, заложенные в XVIII в. Великим Эйлером и продолженные в XIX в. Такими значительными отечественными математиками, как Н.И. Лобачевский, В.Я. Буняковский, М.В. Остроградский, П.Л. Чебышев.

Список использованных в статье опубликованных методических работ
Д.Д. Мордухай-Болтовского

1. Второй Всероссийский съезд преподавателей математики. Философские, методологические и дидактические очерки по поводу докладов съезда // Варшавские университетские известия. 1915. №1. С.1-95.

2. Геометрия как наука о пространстве // Известия Ростовского пед. ин-та. 1940, т. 10. С. 10-25.

3. Из истории метода наложения в элементарной геометрии // Математическое образование. 1928. № 3. С.107-113.

4. Исследования о происхождении некоторых основных идей современной математики // Известия Северо-Кавказского ун-та, 1928, т.3, С.35-129.

5. Математикa и логика в школе // Математическое просвещение. Сборник статей по элементарной математике и началам высшей. 1935. Вып. 4. С.113-128.

6. Математические ошибки в науке и школе // Известия Ростовского пед. ин-та, 1940. Т.10. С.36-51.

7. Метод исчерпывания // Математическое образование. 1928. №6. С.229-240.

8. Методика геометрических определений // Математика в школе. 1940. №2. С.1-8.

9. Методические проблемы, относящиеся к поверхностям и объемам // Математика в школе. 1938. №1. С.34-40.

10. Некоторые проблемы школьной геометрической терминологии // Физика, химия, математика и техника в советской школе. 1932. №3. С.49-54.

11. Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем // Математическое образование. 1929. №1. С.19-34.

12. О моделях ко второй книге «Начал» Евклида // Вестник опытной физики и элементарной математики. 1916. №655-656. С.1-18.

13. О новейших немецких учебниках по элементарной математике // Физика, химия, математика и техника в советской школе. 1932. №1. С.93-97.

14. О первом Всероссийском съезде преподавателей математики. Варшава. 1912. -42 с.

15. О школьном геометрическом доказательстве // Физика, химия, математика и техника в советской школе. 1931. №1. С.96-100.

16. Об аспирантуре в педагогических институтах // Народное образование. 1948. №4. С.39-43.

17. Основы арифметики в середине XVIII века // Математика в школе. 1941. №4. С.1-5.

18. Принцип непрерывности и его методическое значение //Ученые записки Пятигорского пед. ин-та, 1950. Т.7. С.3-12.

19. Психология математического мышления // Вопросы философии и психологии. 1908. Кн. 4 (94). С.491-534.

20. Систематический сборник элементарных упражнений по дифференциальному и интегральному исчислениям. Вып.1. Теория пределов, дифференцирование и интегрирование функций. Варшава, 1907. -426 с.

21. Функции в арифметике // Общешкольный журнал. Ростов-н/Д, 1925. № 1. С.12.

22. Die Padagogie des Kindes und die Padagodie des Erwach-senen // Zeitschr. f. Pad. Psych.,1929.

23. Genese und Geschichte der Limestheorie // Accheion, Roma, 1933, v.15, p.45-72.

24. Heterogome des fines in Mathematica // Scienza e Vita, Milano, 1933.

25. Insolubies in Scholastica et paradoxos de infinito de nostro tempore // iadomosci Matematyczne.T.XLVII.Warszawa, 1939.

26. Methodica de demonst. Scholastico // Scienza e vita, Milano, I929, № 6-7, р. 141-142.

27. Paedagogia de puero et de adulta. //Scienza e Vita.Milano, 1928.

28. Psychologia de сосроb. mathem. // Scienza e vita, Milano, 1929.

29. Sege biogenetico in Mathemat. // Scienza e Vita, Milano, 1932.

30. The concept of Infinity-Historical and Critical Notes // Scripta Mathematica,1932, v.I, №.2, p.132-134.

Д.Д.Мордухай-Болтовской и его философское наследие

(готовится к изданию ...)

К научной биографии Д.Д.Мордухай-Болтовского: о научных связях

(готовится к изданию ...)

Курсы лекций и учебные пособия Д.Д.Мордухай-Болтовского

(скоро появится ...)

Возможности использования методического наследия Д.Д.Мордухай-Болтовского в современном математическом образовании

(готовится к изданию ...)