§1. Часто указывают на педагогическое значение великого биогенетического закона, по которому онтегенетическое (иначе зародышевое) развитие телесного или духовного организма проходит через все те ступени, которые проходило филогенетическое (т. е. родовое).
Не следует увлекаться в этом направлении, не следует насильно заставлять духовное развитие ребенка проходить в точной последовательности путь, пройденный человечеством в его вековой эволюции.
Учить точно по Эвклиду, старый английский прием уже теперь почти сданный в архив — это, конечно, большое заблуждение.
Прежде всего онтогенетическое развитие особи, это не только сокращенное, но еще и исправленное развитие вида. Там, где человечество шло ощупью, ошибаясь и не видя будущего, там особь движется так, как будто уже в первой стадии своего развития она ясно видит последнее .
Но, конечно, это не только одно возражение против категорического отождествления онтогенетики и филогенетики. Следует отметить и различие тех, кто обучает преподавателей и тех кто обучался в исчезающем во мраке прошлом.
В одном отношении взрослый египтянин, ум которого хотя с сравнительно бедным содержанием, примитивной обстановки прошел через 3 десятка лет стоит выше неокрепшего ребенка, но в другом он опускается ниже последнего, несущего в себе семена всевозможных предрасположений, унаследованных предыдущими поколениями, впитавшего в себя в стадии полусознательной жизни образы и настроения окружающей современной культуры столь отличной от той, в которой жил египтянин.
Казалось бы, чтобы взрослый ученик школы для взрослых ближе к этому египтянину, хотя бы как взрослый. Но в действительности здесь раскрывается еще большая пропасть, т.к. сколь бы ни был развит такой ученик, но он во всяком случае мыслил в атмосфере современной, а не античной культуры. Можно сказать, что уже все основные идеи этой культуры в нем находятся, хотя и в совершенно смутной форме и преподавателю чаще приходится не создавать, а только очищать вскрываемый в голове учащегося материал.
§ 2. Кардинальный вопрос в современной методической мысли—это методические приемы, с помощью которых основные идеи современной культуры становятся усваиваемыми на возможно ранних стадиях обучения, обращение этих основных идей из заключений своей предпосылки, при свете которых должна пройти большая часть пути.
Следует, например, возможно раньше выработать функциональное мышление, возможно раньше пропитать идеей функции.
Вот здесь то в особенности видно, что не следует идти точно по тому пути, по которому шли предки, что филогенезис не всегда совпадает с онтогенезисом .
Ведь не станем же мы наивно предлагать вести ученика, безразлично ребенка или взрослого, через схоластические споры о форме и материи, которые и привели к понятиям переменного и функции.
Как известно спор о том, что меняется при изменении вещи, какой из аристотелевских элементов образующих вещь: форма или материя—привел к своеобразному решению, при котором форма, сохраняясь как таковая, меняет, так сказать, свою оболочку, называемую нормальностью и таким образом является, как переменное, принимающее различные значения. Естественно за тем должна была явиться идея о формах, при своем изменении зависящих друг от друга, и графическое представление этого изменения дал Оревман XIV в. еще за долго до открытия аналитической геометрии Декарта, вот история функции. Методика же функции должна быть совсем иная.
§ 3. Не тригонометрия, как чаще всего делали, прежде, не алгебра, как делают теперь, не геометрия, как в давно прошедшее время делал Табо (вначале XIX в.), а арифметика должна быть колыбелью функции.
Конкретный материал арифметики первый должен облечься в функциональные формы.
Следует подходить к идее функции, изучая отношения и пропорции. От отношения и пропорции переход к подобию, а от подобия к диаграммам. Здесь, конечно, необходим некоторый геометрический материал, но правда не систематический, а только наглядной геометрии.
Учащийся должен определенно осознать сущность диаграммы, различить линейную и поверхностную диаграмму, для чего он должен уяснить различие отношений линии и площадей.
Не следует употреблять термин: пропорциональность до выявления понятия о функции. Лучше говорить о двух парах находящихся в прямой и обратной пропорции: шесть и восемь фунтов некоторого товара находятся в прямой пропорции с их стоимостью 12 рублей и 16 рублей—6:8=12:16; 10 и 2 рабочих 1-й и 2-й артели в обратной со сроками выполнения определенной работы 20 дн. и 8 дн . 10:25=8:20.
Только когда вполне выяснены эти понятия, следует перейти к переменной величине, заставляя изменяться количество товара, его стоимости, число рабочих и т. д.
Что жизнь обладает подвижностью, что количество товара на рынке то возрастает, то убывает, что цены колеблются, что с увеличением рабочих рук увеличивается производительность, что с ростом капитала возрастает доход и т. д — это знает хорошо даже ребенок и еще лучше взрослый учащийся.
Конечно первая функция — это пропорциональная ах и обратно пропорциональная при этом, конечно, определение ее должно быть не это символическое, а наглядно-риторическое.
Одно переменное пропорционально другому, если первое возрастает при возрастании второго, при том так, что если второе будет увеличено вдвое и первое увеличится вдвое, если второе увеличится втрое, то и первое втрое и т. д.
Аналогично определяется и обратная пропорциональность.
В истории математики мы имеем не мало примеров, когда пропорциональность смешивалась с монотонностью,т.е.пропорциональными признавались те величины, которые единовременно возрастали убывали.
Примером не пропорциональной монотонности можно выставить наращенный капитал в зависимости от времени.
§4. Во всяком случае не следует ограничиться функциями ах и ах следует ознакомить и с другими типами простейших функциональных зависимостей.
Годы отца и годы сына, между которыми остается одна и та же разность, расстояние между двумя движущимися с одинаковой скоростью поездами и т. д. — все это примеры функций у—х + а.
Нарастание капитала со временем, расстояние от станции А поезда движущегося до станции В и т. д. — примеры функции у-ах+ k .
Здесь несколько слов о графиках в арифметике.
Их следует вводить только по ознакомлении с относительными числами, выводя их как необходимый элемент при решении числовых уравнений.
При изучении графики необходимо дать ее полностью, указать значение не только в первом, но и во всех четырех координатных углах.
Что пропорциональности отвечает прямая, проходящая через начало — это, конечно, можно усмотреть только наглядным образом.
Построив графику нарастающего капитала (тоже прямую) учащиеся могут легко усмотреть его непропорциональность времени.
Интересными и полезными должны явиться графики квадратов и кубов, уясняющие табличное значение графики.
Простейшие функции, числовые уравнения в положительных числах, относительные числа, числовые уравнения во всей области относительных чисел, графики и может быть графические решения задач — это порядок в особенности подходящий в школах, для взрослых, где приходится считаться и с краткостью времени и с более практическим уклоном преподавания.
Проф. Д.МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ