Следует строго различать Логику от Психологии мышления. Современная математическая логика развертывает систему формальных логических операций и таким образом совершенно освобождается от психологизма. Цель ее чисто аксиоматическая, выявление основных положений, из которых чисто формальными операциями выводятся чисто логические положения, которые являются скелетом содержательных положений науки, например, математики. Та логика, которая входит, как составная часть системы философских наук уже не является чистой Логикой. Только в частности, трактующей о силлогизмах, она может быть признана классической формальной логикой, но большей частью она представляет методологию, т.е. учение о методах, а частично Психологию мышления.
При этом к основным законам Логики обычно подход психологический, они рассматриваются не как основные положения формально логического аппарата, а как законы психологии мышления.
Если Логику следует освободить от психологических элементов, то в свою очередь Методику, представляющую по существу Психологию, отнюдь не следует сводить к Логике и ставить целью в обработке учебного материала только уничтожение всех дефектов с логической, иначе говоря, с научной точки зрения. Методические проблемы должны ставится, как психологические проблемы, так как основные предпосылки, из которых следует исходить – чисто психологические, но они должны ставится и как аксиоматические проблемы. Даны постулаты А, В, С, говорящие о тех или иных признаках возраста, можно ли при них осуществить определенную цель или нет. Причем можно ожидать и отрицательный результат, ведущий к отказу от намеченной цели и к замене этой или другой.
§2. Методист постоянно сталкивается с антагонизмом психологических и логических требований. История науки идет не по тому пути, по которому развертывается в строго логическом порядке А, В, С, … В следует за А, С за В не потому, что В логически выводится из А, а С из В, а потому, что между В и А, С и В устанавливается сперва чисто психологическая связь, такая, что А влечет за собой В, а В – С и т.д. Затем история идет вовсе не по простейшему и кратчайшему пути, который открывается наукой в ее окончательном виде. Требования минимума основных положений никогда не выставляется на первых ступенях эволюции. Менее всего ставится вопрос о возможности разрешения поставленной проблемы, в разрешимость всякой поставленной проблемы верят, причем более того и должны верить, чтобы наука могла двигаться вперед.
Хотя биогенетический закон в Методике и не имеет безусловного значения, но все таки усматривается некоторая аналогия в онтогенетическом (индивидуума) и феногенетическом (вида) развитии.
Так же, как и в Истории, так и в Методике мы должны порой элементы логические заменять психологическими, идти на большие компромиссы в научном отношении. Вместо того, чтобы оперировать формально логическим аппаратом нам приходится порой убеждать, созданием только определенного настроения, вызываемого определенным комплексом идей и образов. Установившуюся в настоящее время в школе качественную теорию относительных чисел нельзя выразить в логических терминах.
Чисто математическая точка зрения в ней ничего не доказывает, но в этой теории стараются убедить в тех предпосылках, из которых затем выводят следствие уже чисто математически.
§3. Методист прежде всего является психологом и он должен изучить психологию, как теоретически, так и практически, собрав большой материал из своей педагогической практики.
Но для него недостаточна обычная психология сознательного, он должен опуститься и в подсознание. Без изучения подсознательных процессов, невозможна психология мышления, в особенности математического.
Процесс решения задачи очень сложен и глубоко спускается под порог сознания. Под порогом сознания строится ряд гипотез, причем в противоположность сознанию над различными гипотезами, затем они всплывают в сознании и подвергаются уже сознательной проверке.
Вот краткая схема, по которой протекают подсознательные процессы. И в математическом мышлении особенно сильно идет эта подсознательная работа. Автоматический характер математического мышления от этого, главным образом, и зависит.
Ведь математики менее всякого другого научного работника может ответить на вопрос почему эта мысль пришла к нему в голову. Большей частью ответ на это скрывается в тайниках подсознания.
Там же, т.е. в большем или меньшем развитии этой подсознательной мыслительной работы и следует также искать источник математических способностей. Учителю следует очень осторожно пользоваться быстротой математического соображения, как общей меркой ума учащегося.
§4. Исследование Анализа и Синтеза принадлежит не Логике, а психологии. Методисты понимают анализ, как движение от следствий к причинам, а синтез, как обратное движение от причин к следствиям, хотя эти же термины понимаются и в другом смысле: анализ в смысле разделения целого на части с целью его изучения, синтез же в смысле соединения частей для изучения целого.
В сущности, как не расходятся эти два понимания, но между ними существует бесспорно родственная связь: можно сказать, что целое определяется частями, что в широком смысле свойство частей является причинами свойств целого. Конечно, мы никогда не мыслим чистым анализом или чистым синтезом. Доказанное уже положение А связуется с недоказанным Д движением в две различные стороны, из А выводится В из В – С и т.д., конечно в надежде в получаемой таким образом цепи дотянуть до Д.
Но отчего выводится В, а не В/ и не В// … в этом случае, когда это делается над порогом сознания – на это еще можно ответить – различными аналогиями и по заключениям из опыта.
Вместе с тем движение идет и от Д. К Д ищется причина С, к С ее причина В и т.д., конечно при этом рассчитывается помощь в конечном звене на А. И здесь, конечно, нельзя доказать, что следует идти по принятому пути, но здесь за него можно выставить только смутные соображения. Очевидно такая работа ведется, главным образом, под сознанием.
§5. Если в первом обычном в Методике понимании Анализ и Синтез принадлежит Психологии и Методике как науке психологической, то при втором их следует отнести к Методологии.
Эвклидовское понимание отличается от современного. Эвклид оперирует с эквивалентными положениями, сводящимися на языке алгебры к эквивалентным уравнениям и по существу Синтез и Анализ сводятся у него только к порядку изложения.
Можно идти от уравнений Д к эквивалентному уравнению С, от С к В, от В к А и если верно А, то верно Д – это Анализ. Идя в обратном пути получаем Синтез. Конечно Эвклидовские Анализ и Синтез можно тоже поставить на обсуждение методистом, но тогда получаем проблему, имеющую значительно меньшее значение, чем та, которая дается указанными выше пониманиями.
§6. Вполне определенной проблемой, относящейся к Синтезу и Анализу, является следующая: при разъяснении учителем доказательств следует ли начинать с Анализа или с Синтеза? Законченной формой, конечно является, синтетическая. Объявляется теорема Д. Начинают с раньше доказанного положения А, из которого извлекается В, из В – С, из С – Д. Но методист считает необходимым пояснить, почему он идет так, а не иначе как для того, чтобы ход доказательств легче закрепился бы в памяти, так и для того, чтобы ученик самостоятельно научился бы доказывать аналогичные теоремы в форме задач.
Чисто аналитическое изложение никогда не является возможным, все примеры анализа в доказательствах сводятся или к Эвклидовскому анализу, т.е. перевернутому порядку эквивалентных положений и к ряду силлогизмов, которые строятся друг за другом, руководясь опять различного рода аналогией и опытом и затем склеиваются в одно целое, которое в конце концов дает цепь, окончательную обработку которой дает Синтез.
Учитель, анализирующий различные моменты доказательств, занимается не логикой, а психологией и вопрос ставится так, с чего следует начинать – с Логики или с Психологии.
Говорят, что искусственное доказательство дает только, что «это так» и вот искусственность доказательства, затрудняющая понимание его учащимися, ослабляется Анализом, т.е. психологическими экскурсиями учителя, убеждением, что по этому пути было во всяком случае более естественно идти, чем по другому. Эти убеждения и прибавляют к «это так» - «почему это так».
Но «это так» должно быть дано во всяком случае раньше, чем «почему это так», следует сперва показать некоторое явление, а затем уже заниматься разысканием причины. Следует резко отделять то, что в науке дается опытом, а в математике доказательством от того, что является только гипотезой или догадкой. Учащегося следует приучать мыслить чисто логически, идти с ним сперва по вполне отделанному пути и только, когда он уже пройдет этот путь выяснить, как он разыскан и как искать аналогичные пути. Злоупотребление аналитическими приемами иногда оказывается опасным. Я вспоминаю писменные работы на аттестат зрелости в 1915 году Варшавского Учебного Округа, прошедшие через мои руки.
От учащихся требовался Анализ решения задачи, т.е. изложение тех смутных соображений, из которых некоторые совсем близко подходят к порогу сознания. И что же. В работах во всех остались недоказанными чертежи, но аналитическое введение разросталось в длинные психологические самоанализы, которым учащиеся (а может быть и учитель) начинали придавать больше значения, чем окончательной строго логической отделке решения.
§7. Анализ доказательств, который дает учитель после завершенного синтетического изложения должен быть таким, хорошо обдуманным приемом. Он ведется в форме вопросов, на которые ответ дают не ученики , а сам учитель. Почему? Потому что ученики могут привести такие причины, которые не явятся столь убедительными, как те, которые приводит хорошо их предварительно продумав учитель. Желательно, чтобы после анализа или сам учитель еще раз или ученик провел снова все доказательство.
Я приведу пример – этого второго аналитического момента для 32 положения I книги Начал Эвклида о равенстве суммы углов треугольника двум прямым. Пусть теорема доказана в синтетической форме. Следует аналитическая обработка. Когда мы сразу видим, что сумма углов равна двум прямым? Когда все углы собраны около одной точки по одну сторону от прямой (следует вспомнить теорему о сумме смежных углов и ее обобщение).
Мы определим сумму углов треугольника, если перенесем все его углы в такое положение. Куда же их перенести? Естественно, что туда же, где уже имеется такой угол, т.е. в С вверх над проложенной стороной АС.
Теперь мы при точке С имеем два угла треугольника. Чему же равен третий ? Не дает ли здесь указание тоже теория параллельных? Не представляет ли угол в отношении какого либо угла треугольника соответственный или накрестлежащий угол. Всматриваясь в чертеж мы легко видим, что это как раз имеет место. Совершенно таким же образом аналитически обрабатывается доказательство теоремы о том, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Теорема будет доказана, если угол С или часть его окажется внешним углом в треугольнике, в котором один из углов В.
Все сводится к переносу части С в Е, что достигается построением равнобедренного ∆АЕВ, т.е. откладыванием АЕ=СЕ, так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отметим, что при такой обработке у нас всегда выступает форономический подход. В том, что следовало поступать так, а не иначе, убеждает не только логика, но еще больше глаз. Здесь совершенно ясно возникает вопрос об использовании здесь моделей неподвижных, а еще лучше подвижных.
§8. В тесной связи с анализом стоит эвристический метод. Этот метод получает свое развитие под влиянием педагогических идей Песталоцци в начале XIX века. В это время ребенка считали в одном отношении глупее, чем он есть, в другом умнее. Ему вдалбливали в голову иногда совершенно простые вещи, которые он мог усвоить сам без всяких хитростей учителя. Но все эти длинные упражнения над прямыми, которым придавал большое значение Песталоцци и его последователи уже давно сданы в архив. Большая часть этих упражнений только потерянное время и не потому, что не следует стараться упражнениями развивать геометрическое воображение, а потому, что только ничтожная часть этих упражнений является вполне достаточной для достижения намеченных Песталоцци целей.
Но с другой стороны думали, что ребенок может ответить на вопросы, которые можно предложить только взрослому, что он может додуматься до чего он в действительности может дойти только на помочах.
Следует, обсуждая эвристический метод, всегда иметь в виду то, что ребенок, доходя до правильной мысли, не всегда оказывается в состоянии её выразить. Песталоцци первый осознал, что ребенка следует учить говорить, но стремление к осуществлению эвристических приемов приводило к противоречию с этими требованиями.
В самом деле, требуя, чтобы учащийся сам до чего либо дошел, мы должны также требовать и то, чтобы он рассказал о том, до чего он дошел и, более того, как дошел. Вне сомнения эвристический метод это более сложная в психологическом отношении задача, чем это думали методисты начала XIX века. Но вне сомнения в истории методики математики их начинания сыграли важную роль. От них идут задачи, а также вопросники, на которые следует обратить внимание, пожалуй, и в настоящее время.
Примером руководств по эвристическому методу начала XIX века является забытая теперь книга Польмана. Он приводит вопросы учителя и ответы, которые, как он думает, может давать ученик. Учитель чертит на доске два отрезка прямых, два круга и два угла один в 60о, другой в 30о. Учитель спрашивает, как относятся эти отрезки. Ученик отвечает, один длинней, другой короче. Учитель спрашивает тоже еще раз. Ученик говорит один вдвое больше другого.
Учитель указывает круги и вызывает у ученика представление о двух фигурах одной формы, но различных размеров и то же делает с углами. При этом ученик совершенно категорически заявляет, что других различий нет. Между тем, конечно, ребенок найдет различие хотя бы в положении углов и т.д.
Впрочем до этого момента ребенок остается ребенком, но с ходом учительских вопросов он начинает расти. Учитель спрашивает, можно ли найти вещи, которые отличались бы только величиной. Ученик отвечает, что таковые вещи существуют. Учитель спрашивает, когда же вещи называются подобными. Ученик говорит: это значит они отличаются только величиной. Учитель: обязательно ли подобные вещи равны. Ученик: нет. Учитель: вообще существуют ли подобные и равные. Ученик: существуют.
Но ученик сразу значительно умнеет, когда начинает вести беседу об аксиомах. Начинается беседа с шаблонного определения величины, как того, что можно увеличить и уменьшить. Ученик сам доходит до 9-ой аксиомы Евклида, что целое более части. Но вопросник вдруг обрывается и Эвклидовы аксиомы излагает уже сам учитель. Ученику же предоставляется самому додуматься до того, что две прямые с совпадающими отрезками совпадают между собой и в других частях. Аксиому 8 о равенстве совпадающих при наложении фигур учитель просто сам высказывает.
Очевидно Полеман уже довольно рано начинает сознавать, что на одних вопросах нельзя продвинуться далеко.
Но нельзя не отметить совершенно правильную идею – анализ доказательства и вопросник при сложных доказательствах должен иметь методическое значение, но, как мы отметили, это больше дело учителя, чем ученика. Английская методика, заковав себя в Эвклида и старающаяся не отступать от него, направляется как раз по этому пути и анализы и вопросники в школьных английских «Эвклидах» заслуживают внимания.
§9. Наведение.
Решать задачи должен учащийся самостоятельно. В том смысле, что все сдесь делает сам ученик, а не учитель, можно было бы здесь говорить об эвристическом методе. Задач раньше для самостоятельного решения вовсе не было, их создало именно эвристическое направление в Методике, запускающее свои корки в Педагогику Руссо и Песталоцци. Систематические собрания задач впервые появляются в учебнике Ома. Но с другой стороны едва ли можно назвать эвристическим методом обучения полное предастовление учащегося самому себе.
При проведении эвристического метода учитель должен сохранять свою активность. И здесь возникает очень тонкая методическая проблема: о степени и форме этой активности. Можно говорить об эвристических приемах при решении задач, не в контрольной письменной работе, но у доски. Тут эвристические приемы должны сводиться к наведению, которое должно идти, начиная с слабого намека и кончая (в случае неуспешности всех намеков) к подсказке. Характер же этих намеков тот же, какой имеют вопросы при аналитической обработке боказательства.
§10. Алгебраические методы в геометрии
Часто термины: аналитический и алгебраический оказываются антонимами. Аналитическая геометрия у Декарта получила такое название именно потому, что в глазах самого Декарта эти понятия сливались. Конечно проведение аналитического изложения (хотя никогда во всей чистоте) подходит больше к алгебраическим, чем к чисто геометрическим выводам. То же следует сказать об имеющей психологическое, а не логическое, значение приведенной выше аналитической обработке доказательств.
Казалось бы, что отсюда следует сделать вывод о предпочтении алгебраических приемов (например вывода объема усеченной пирамиды) чисто геометрическим.
Но с этим едва ли можно согласиться. Методика геометрии вовсе не должна задаваться только целями сделать доказательства проще и легче запоминаемыми.
Она должна ставить целями научить оперировать не только формально-алгебраическим аппаратом, но и силлогизмами и затем развивать геометрическое воображение, оперируя геометрическими образами.
§11. Анализ в смысле разложения на элементы
Мы выше указали на другое значение понятия анализ, как метода изучения целого разложением его на части. Хотя анализ в этом понимании и относится скорее к методологии, чем к методике, но он все таки имеет некоторое методическое значение. Здесь мы имеем дело с уже вполне сознательным мышлением.
Методист развивает рефлексию учащегося, заставляет напрягать внимание, направленное на какое либо понятие или вывод, которые расчленяются учащимся на составные элементы. С анализом в этом понимании тесно связуется методика школьных определений. Знакомое, хотя и данное в смутной форме понятие учащийся должен расчленить на элементы и дать с помощью них точное определение этого понятия. Это и есть анализ в этом втором смысле.
С другой стороны новое понятие он должен построить с помощью определенных заданных элементов, комбинируя их. Это уже синтез во втором его понимании.
Но анализировать следует не только понятие, но и выводы. Анализ этот совершенно иного рода, чем указанный выше. Здесь речь должна идти о тех аксиомах и раньше доказанных положениях, которые использованы при доказательствах. Это аксиоматический анализ доказательств.
Следует пожалеть, что на это в школе обращали мало внимания. Учащийся получает представление только об отдельных выводах, но общей картины развивающейся логической системы геометрии он не получает. Следует указать, что полезным является и синтез, состоящий в построении родословной вывода, т.е. таблицы постепенных элементарных выводов из аксиом или ранее доказанных положений, из которых слагается все доказательство.
Проф. Д.МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ